2012中考数学压轴题函数梯形问题二
例3如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝
12x1，C的坐标为4，点4
0，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Qx，y在抛物线上，点Pt，0在x轴上．1写出点M的坐标；2当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．
图1动感体验请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q在抛物线上运动，从t随x变化的图像可以看到，t是x的二次函数，抛物线的开口向下．还可以感受到，PQ∶CM＝1∶2只有一种情况，此时Q在y轴上；CM∶PQ＝1∶2有两种情况．
思路点拨1．第（1）题求点M的坐标以后，Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图．2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t与x的比例式，从而得到t关于x的函数关系．3．探求自变量x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况．4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH与
MO的长度比．
用心爱心专心1
f满分解答1因为AB＝OC＝4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝
12x1，得y＝2．所以点M的坐标为（0，2）．4
2①如图2，过点Q作QHx轴，设垂足为H，则HQ＝y
12x1，HP＝xt．4
因为CMPQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此ta
∠QPH＝ta
∠MCO，即
HQOM1111．所以x21xt．整理，得tx2x2．HPOC2422
如图3，当P与C重合时，t4，解方程4
12xx2，得x15．2
如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝2．因此自变量x的取值范围是x15，且x2的所有实数．
图2
图3
图4
②因为si
∠QPH＝si
∠MCO，所以
PQHQHQOM，即．CMOMPQCM
PQHQ111时，HQOM1．解方程x211，得x0（如图5）．此CMOM224时t2．
当当
PQHQ12时，HQ2OM4．解方程x214，得x23．CMOM4
如图6，当x23时，t823；如图6，当x23时，t823．
用心爱心专心2
f图5
图6
图7
考点伸展本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？
设点Q的坐标为x

1211x1，那么QM2x2x2r