足
mgm2R
①
由此得，球磨机正常工作时圆筒转动的角速度范围为
0g
②
R
（2）为使钢球对矿石的冲击作用最大，钢球应在圆筒某横截面上处于抛落状态。假设钢球被提升至O点时，小球刚好脱离筒壁作抛体运动。此时，筒壁对钢球的正压力为零，由牛顿第二定律有
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fmgcosmV2
③
R
式中，是O点相对于它所在横截面中心C的矢径与竖直方向的夹角，V是钢球在O点抛落时的速度（见解题图14a）。由③式得
VgRcos
④
球脱离筒壁作抛体运动，在以O为原点坐标系中有
Y

X
ta


gX22V2cos2
⑤

X
ta


X22Rcos3
钢球所在的圆筒截面的圆周方程为
（XRsi
2YRcos2R2
⑥
解题图14a
方程组⑤⑥有两个解，其一为00，这是抛出点O的坐标；其二是球的落点A的坐标
XA4Rsi
cos2
⑦
YA4Rcossi
2
钢球在A点的速度为
vxVcos
⑧
vy2gH3Vsi

式中，H是钢球做抛体运动的最高点相对于A点的高度
H

V2
si
22g
YA

92
Rcossi
2

⑨
设A点相对于C点的矢径与水平方向的夹角为，则由几何关系有
同理有
si
YARcos4si
21cos
⑩
R
cosXARsi
4cos21si
R
由⑧⑩式得，钢球在A点垂直于筒壁的速度（打击附在筒壁上的矿粉的速度）为
v
vxcosvysi
8Vsi
3cos

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f由④式得
v
8
gR
si
4

1

si
2

34

94
16
2gR
3
si
2
si
2
1si
2

22

16
2gR

si
22

si
2
23

94
1

si
2




9
1634
2gR
式中的等号当且仅当
si
21si
22
时成立，于是有
arcsi
6

3
这时，由式知，小球的径向速度最大，即小球对矿石的冲击作用最大。
或：
要使小球对矿石的冲击作用最大，必须使小球的径向速度最大，即
dv
6Rgsi
2cos13cos20，

d
解得
arcsi
6

3

此时，圆筒的角速度为
gcos314g07598g

R
R
R
钢球对矿石的冲击功为
W

12
mv
2

32mV
2
si
6
cos2


32mgRsi
6

cos3

将式代入式得，钢球对矿石的最大冲击功为
Wmax

2563243
mgR18247mgR

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f评分标准：本题20分，第（1）问3分，①式1分，②式2分；第（2）问17分，③④⑤⑥式各1分，⑦⑧式2分，⑨⑩式各1分，式2分，式各1分。
15（1）对b棒，由能量守恒，可得弹簧的弹性势能为
Ep

12
M
v02
，
①
由右手定则知，a棒中电流的方向：
从上端流向下端。
②
（2）b棒与a棒相碰撞前后，由动量守恒知
Mv0Mmv
③
由题意，系统的总动能全部转化为电路产生的总的焦耳热Q总
1M2

mv2

Q总
。
④
Q总和a棒产生的焦耳热r