式代入①式得
sr50cm
②
即观察者看到的鱼的像（虚像）与鱼所在处重合。像的横向放大率
为
解题图13a

s
4133
③

0s
03
（2）如解题图13a，设与水球球心O距离为a处有一小鱼M。从M点发出任一光线MB与OM
的延长线OO的夹角为，从M点发出的另一光线MA与OO垂直，光线MA、MB在玻璃球
壳上的入射点分别为A、B，入射角分别为、。在OBM中，由正弦定理有
ar
④
si
si

在直角OAM中有
si
a
⑤
r
又
由④⑤⑥式得
si
1
⑥
解题图13b

⑦
为了保证从M点发出的光线有发生全反射的可能，至少要求
si
si
C
⑧
式中C是水的全反射临界角
si
C1
⑨


由⑤⑧⑨式和题给数据得
a1r3r
4
⑩
解题图13c
值得指出的是：⑨式中的
是水相对于空气的折射率。这时从M发出的光线一定可以折射入
玻璃内部；但由于题设，玻璃球壁很薄，光线穿过等厚的薄壁玻璃（对于某根光线，该处玻
璃可视为一小平面）前后（只要光线能穿过），其方向实际上没有发生偏折（即使玻璃与水
的折射率不一样）；相当于从M发出的光线直接入射到与水的交界面上。
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f考虑到球的旋转对称性，则处于解题图13b所示的阴影区内的鱼发出的光线都有可能出
现全反射，也就是说，鱼可能“消失”的位置范围是
解题图13b所示的阴影区

现考虑观察者的观测位置范围。在解题图13c中，假设鱼所在位置N到球心的距离b满足
rb3r375cm，

4
即在解题图13b的阴影之内。由以上讨论知，从N发出的垂直于ON的光线NA的入射角必大
于水相对于空气的全反射临界角C；且该入射角为极大值，光线NA两侧的入射光线NB、ND
等的入射角都小于NA的入射角。
进而，当NB、ND的入射角都等于全反射临界角C时，NB、ND之间的所有入射光线的
入射角都大于全反射临界角，而发生全反射。NB、ND分别对应临界的折射光线BB、DD。
所以，当观察者的眼睛处于解题图13c所示的BB、DD之间的阴影区域时，就看不到位于
N点的鱼。再考虑球的对称性，将解题图13c绕ON轴旋转一周，则眼睛看不到N点的鱼时应
选取的观测位置范围是
解题图13c的阴影区域的集合

由以上讨论可知，鱼在鱼缸中“消失”需要两个条件：一是鱼要相对靠近鱼缸内壁，二是
要选择合适的观察位置。
评分标准：本题20分。第（1）问3分，①②③式各1分（用其它方法得到正确结果的，同样给分）。第（2）问17分，④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分，⑩各2分（图示定性正确）。
14（1）由题意知，为使球磨机正常工作，钢球不能处于离心状态。即在钢球上升至其最高点点处满r