2Rsi
α
ΑCD，有CD2Rsi
90°α2Rcosα
∴AB2CD22Rsi
α22Rcosα22R24R2同理BC2AD22R24R2∴AB2BC2CD2DA24R24R28R2为定值。
：
用到正
定理，即
ΑBC
，
abc2Rsi
Asi
Bsi
C
abc是ΑBC的三边，2R是ΑBC外接圆的直径，正
定理
用，
证。
fOB
721
7QAB
RtACB
21∠A
si
ABCaAB2R
a
BO
BO
OA
AC
∴∠ACB90°
∩∩QBCBC
∴si
Aa2R
∴∠A∠A
a2Rsi
Ac2Rsi
C
b2Rsi
B∴
abc2Rsi
Asi
Bsi
C
1
2cm
OB
714714O
Q∠AOB360°120°3
ABC
∴∠AOD60°
OD⊥ABD
QAO2cm
∴ADAOsi
60°2×
AB23cm
33cm21ODOAcos60°2×1cm2
f∴在ABC中，AB边上的高CDCOOD213cm
∴SABC11ABCD×23×333cm222
∴正三角形ABC的边长为23cm，面积为33cm2
例2一个圆内接正方形的边心距为r，求该圆的外切正六边形的边长。分析：由题意画图715，AB是圆O的内接正方形的一边，CD是外切正六边形的一条边，通过OM可求出圆O的半径OA，然后再找OA与CD的关系。
CBADM
图715：图，AB是圆O内接正方形的一条边，
OMr，∴ΟA2r
QCD为圆O外切正六边形的一条边，
∴∠COD360°60°6
QOA⊥CD，∠AOC30°
36r332∴圆O的外切正六边形的边长为6r3∴ACOAta
30°2r
∩图716，AB是半圆的径，CD是AB的三分一，半径为R，求
例3
分的面积。
CD
BA
图716：
CDOCOD。
f∩∩∩QC、D是AB的三分之一点，∴ACDB，∴CDABQ平行线间的距离处处相等，∴OCD与CBD有相等的高。
∴SOCDSCBD
QS扇形OCD1πR26
∴S阴影S扇形OCD
∴S阴影1πR26
例4如图717，矩形ABCD中，AD2AB2，以D为圆心，以DA为半径的弧交BC于F交DC延长线于E，求阴影部分面积。
A
B
图717
DF，∴ADDFDEQAD2AB2，∴DF2DC2，∴CD1Q∠DCF90°，∴∠DFC30°QADBC，∴∠ADF30°
RtDCF中，cot∠DFCFC，∴FC3CD
QSDFC
13CDFC，∴SDFC22
QS扇形ADE

πR290×π×22，∴S扇形ADEπ，360360
S扇形ADF
π
3

QS阴影S扇形ADES扇形ADFSDFCπ∴S
影
π
3

32π3，232

2π332
例5如图718，矩形ABCD中，AB4，AD6，求以矩形一的图形的面积。
线为
一
fA
B
718AB到1

AD
2ADπ2×6×π12π
AB
πAD236π
∴2
×AB48π∴16π
36π36π48π120πAD8π48π
16π16πr