乌鲁木齐市高级中学2010年高中数学联赛辅导
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杨帆
2010年全国高中数学联赛模拟题1
一试
考试时间上午8：009：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）填空题（1、已知函数y
2x2bxcb0的值域为13，则bcx21
22
2、已知a∈R并且a2xxaa0，则a的取值范围是3、设在xOy平面上，0y≤x2，0≤x≤1所围成图形的面积为
1，则集合3
Mxyyx≤1Nxyy≥x21的交集MIN所表示的图形面积为
4、fx
x22x2x23x3的最小值为
5、已知复数zcosαisi
α，ucosβisi
β，zu且＝6、过椭圆C：
43i则ta
αβ55
x2y21上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH32
到点Q，使HQλPHλ≥1。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为7、设x表示不超过x的最大整数，则log31log32log33Llog35008、设p是给定的奇质数，正整数k使得kpk也是一个正整数，则k____________
2
二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）在△ABC中，ABC所对边分别为abc，且c10
cosAb4，PcosBa3

为△ABC的内切圆上的动点，求点P到ABC的距离的平方和的最大值和最小值10、（本题20分）数列a
中，a18a42且满足a
22a
1a
∈N（1）求数列a
的通项公式；（2）设b

1T
b1b2Lb
∈N，是否存在最
12a

大的正整数m，使得对于任意的
∈N均有T
存在，请说明理由。
m成立？若存在，求出m的值；若不32
11、（本题20分）给定圆Px2y22x及抛物线Sy24x过圆心P作直线l此直线与上述两曲线的四个交点自上而下顺次记为ABCD如果线段ABBCCD的长按此顺序构成一个等差数列求直线l的方程
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杨帆
2010年全国高中数学联赛模拟题1
（二试）二试）
9：4012：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）联结圆内接等腰梯形ABCD的对角线ACBD相交于E，已知图中各条线段均为正整数，且
∠AED2∠ABD2∠ACD120oAD71求证图中存在一个三
角形，其三边长均为素数且组成一个等差数列2若给点AED染上红色，圆面上的其它点任意染上红蓝色之一，求证圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数
2、（本题40分）已知实函数fxyr