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初中数学竞赛专题培训讲练
初中数学竞赛专题培训
与平行四边形一样梯形也是一种特殊的四边形其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位本讲就来研究它们的有关性质的应用例1如图243所示在直角三角形ABC中E是斜边AB上的中点D是AC的中点DF‖EC交BC延长线于F求证四边形EBFD是等腰梯形
第十三讲梯形
若能确定顶点∠CBD的度数分析由于△BCD是等腰三角形则底角∠BCD可求由等腰Rt△ABC可求知斜边BC即BD的长又梯形的高即Rt△ABC斜边上的中线也可求出通过添辅助线可构造直角三角形求出∠BCD的度数解过D作DE⊥EC于E则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF设ABa由于△ABF也是等腰直角三角形由勾股定理知
分析因为ED是三角形ABC边ABAC的中点所以ED‖BF此外还要证明1EBDF2EB不平行于DF即证因为ED是△ABC的边ABAC的中点所以ED‖BF又已知DF‖EC所以ECFD是平行四边形所以ECDF①又又E是Rt△ABC斜边AB上的中点所以
AFBFAB
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BCABAC2AB2aECEB②由于BCDB所以在Rt△BED中由①②EBDF下面证明EB与DF不平行若EB‖DF由于EC‖DF所以有EC‖EB这与EC与EB交于E矛盾所以EBDF从而∠EBD30°直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理在△CBD中
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根据定义EBFD是等腰梯形ABCD是梯形AD‖BCADBCABAC例2如图244所示且AB⊥ACBDBCACBD交于O求∠BCD的度数例3如图245所示直角梯形ABCD中AD‖BC∠A90°∠ADC135°CD的垂直平分线交BC于N交AB延长线于F垂足为M求证ADBF
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