第四讲排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a1，a2，……，a
；b1，b2，……，b
．如果a1≤a2≤……≤a
；b1≤b2≤……≤b
．那么a1b
＋a2b
－1＋……＋a
b1（反序和）≤a1bi1＋a2bi＋……＋a
bi（乱序和）≤a1b1＋a2b2＋……＋a
b
（同序和），
2

其中i1，i2，……，i
是1，2，……，
的一个排列．该不等式所表达的意义是和式
ab
j1


jij
在同序和反序时分别取得最大值和最小值．1ab
1

切比雪夫不等式：设有两个有序数组a1≤a2≤……≤a
；b1≤b2≤……≤b
．则＋a2b
－1＋……＋a
b1≤
a1＋a2＋……＋a
b1＋b2＋……＋b
1≤
a1b1＋a2b2＋……＋

a
b
，其中等号仅当a1＝a2＝……＝a
或b1＝b2＝……＝b
时取得．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．定义设连续函数fx的定义域是a，b开区间a，b或－∞，＋∞上均可，如果对于x1＋x21区间a，b内的任意两点x1，x2有f2≤2fx1＋fx2，则称fx为a，b上的下凸函数．如图１
Q
MPx21定理一．若fx是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x1，x2，……，x
，恒有x1x1＋x2＋……＋x
1f≤
fx1＋fx2＋……＋fx
．
定义设连续函数fx的定义域是a，b开区间a，b或－∞，＋∞上均可，如果对于x1＋x21区间a，b内的任意两点x1，x2有f2≥2fx1＋fx2，则称fx为a，b上的下凸函数．如图2
x22Q定理二：若fx是上凸函数，则对其定义域中的任意
个点x1x2x
恒有
x1
PM
f
x1x2x
1fx1fx2fx
，容易验证fxta
xlog1x分别
2
f是0

2
0上的下凸函数。fxsi
xlgx分别是00上的上凸函数。定理
一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。幂平均：设a1a2a
是任意
个正数，我们称
a1a2a
1rr0为这一组数的r次
a1a2a
，

r
r
r
幂平均，记为M（，简记作Mra。由定义容易得到M1ara1a2a
）可以证明limMra
a1a2a
。
r0
幂平均不等式：设a1a2a
是任意
个正数。如果，那么一定有MaMa，等号只有当

2
个数全相等时才能成立。例如
3时，
22333
a1a2a33
a1a2a3aa2a3，显然Mra是r的递增函数。31r