第5讲几何不等式
本讲只要内容是几何不等式A类例题例1已知D是△ABC的边AB上的任意一点E是边AC上的任意一点连接DEF是连接线ADAEDF段DE上的任意一点设xyz证明ABACDE1S△BDF1xyzS△ABCS△CEFx1y1zS△ABC
333
2
S△BDFS△BDF≤S△ABC2003年女子数学奥林匹克试题
证明1如图有S△BDFzS△BDEz1xS△ABDz1xyS△ABCS△CEF1zS△CDE1z1yS△ACD1z1yxS△ABC
3
2
S△BDFS△BDF1xyz
3
3
3
x1y1zS△ABC
3
1xyzx1y1z3≤S△ABC33
3
S△ABC例2如图，在△ABC中PQR将其周长三等分，且PQ在AB边上，求证：
SPQRSABC21988年全国高中数学联赛第二试试题9
证明从CR向AB引垂线，用放缩法证明所需不等式不妨设周长为1，作△ABC、△PQR的高CL、RH1PQ×RHSDPQRPQ×AR21SDABCAB×ACAB×AC211PQ2QPQAC故32AC31111111APAPBQABPQARAP236336611AR61SDPQR212AC2AC13SDABC3392
AP
HLQBCR
情景再现
1已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任意一点E是边AC上任意一点连接DEF１ADAEDF是线段DE上的任意一点，设ABxACyDEz且yzx2试求△BDF面积的最大值．2005年湖南省数学竞赛试题2如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC1，证明S△BPF、S△PCE和S平行四边形PEAF中至少有一个不小于数学联赛第二试试题
4S表示图形的面积1984年全国高中9
fＢ类例题例3ErdsMordell不等式设P是△ABC内的任意一点P到三边BC、CA、AB的距离分别为PD＝p、PE＝q、PF＝r，并记PA＝x，PB＝y，PC＝z，则xyz≥2pqr等号成立当且仅当△ABC是正三角形并且P为此三角形的中心证明如图以∠B的平分线为对称轴分别作出A、C的对称点A、C连接AC，又连接PA、PC，在△BAC中，容易得到
SDBAPSD
BCP
≤
1BPAC2
①
等号成立当且仅当BP⊥AC111由于△ABC≌△ABC①式等价于cpar≤yb222ca即y≥prbb同理x≥z≥cbqraabapqcc②③④
将不等式②、③、④相加得cbcaabxyz≥pqr≥2pqrbcacba例4设P是△ABC内的一点求证∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30o第32届IMO试题证法一连接AP、BP、CP，并延长交对边于D、E、F，则S△PCAS△PABPDPEPFS△PBC1ADBECFS△ABCS△ABCS△ABC设∠PABα∠PBCβ∠PCAγ则PFPDPEPDPEPFsi
αsi
βsi
γ≤PAPBPCPAPBPCr