x2y21又直线l方程为yxm．由a23a2，得yxm
2x22mxm23a20．
①
yy设Ax1，1，Bx2，2，则x1x2m，x1x2
m23a2．2
my因为AP3PB，所以x1，y13x2，2m，x13x2．
结合x1x2m，解得x1
31m23a2m，x2m．代入x1x2，得222
3m23a2m2，化简得m26a2．又42OAOBx1x2y1y2x1x2x1mx2m
2x1x2mx1x2m2m23a23a2，
且OAOB3．
所以a21．此时，m6，代入①，整理得2x226x90，显然该方程
f有两个不同的实根．a21符合要求．故双曲线C的方程为x2
y21．3
00（2）假设点M存在，设Mt，．由（1）知，双曲线右焦点为F2，．设
Qx0，0（x01）为双曲线C右支上一点．y
当x02时，ta
QFMkQF
2
y0y，ta
QMFkQM0，因为x02x0t
y0yx0tQFM2QMF，所以0．x021y02x0t
2222将y03x03代入，并整理得，2x042tx04t2x02tx0t23．
42t2t于是，解得t1．4tt23
当x02时，QFM900，t1时，QMF450，而符合QFM2QMF．
0所以t1符合要求．满足条件的点M存在，其坐标为1，．
11必要性：若x1x2x
是一个等比数列，设xkark1，则
2x1
1x
r2
1x2k1xkxk1r
r
k1

1
1
2k1
1r2r
2x
x12＝22x2x1
2

2

r2
11r21
充分性：当
＝2时，两边都等于1当
＝3时，有
2x2x2x2x1x33312，2x2x1x2x2x3x2x1
2化简得x1x3x2，所以，x1x2x3成等比数列
f假设x1x2x
1成等比数列
4）记xkark1，k12
1，x
au
，（，则
2u
1111u21，32
5
2
rrrrru
r21
22u
1r2r4r2
6r
3u
r21u
1r2
4，
2u
r
1r
3u
r2
40，
u


r
1u
r
30，
因为u
0，所以u
r
1，即x
ar
1，从而x1x2x
成等比数列由数学归纳法知，x1x2x
是一个等比数列
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