No50高中数学联赛模拟试卷
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在数列a
中，a12，a21，且a
2a
1a
，
12．则a2011＝．2．设a，b，c是正整数，且成等比数列，ba是一个完全平方数，
log6alog6blog6c6，则abc
．
3．一列数a1a2a3满足对于任意正整数
，都有a1a2a
3，则
111a21a31a1001
．
4．设a1，变量x满足x2axx，且x2ax的最小值为
1，则2
a_______．
5．正整数
500，具有如下性质：从集合12500中任取一个元素m，则m整除
的概率是
1，则
的最大值是100

6．集合12…2011的元素和为奇数的非空子集的个数为
7．一个直径AB2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点
S，使ASAB，C为半圆上一个动点，NM分别为A在SCSB上的射影．当三
棱锥SAMN的体积最大时，BAC_________．8．直线ykx2交抛物线y28x于AB两点，若AB中点的横坐标为2，则
AB

二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）
9（本小题满分16分）设xyz1，，证明不等式
x22x2y22y2z22z2xyz22xyz2．
f10（本小题满分20分）已知双曲线C：
x2y21（a0，b0）的离心a2b2
m率为2，过点P0，（m0）斜率为1的直线l交双曲线C于A、B两点，且
AP3PB，OAOB3．
（1）求双曲线方程；（2）设Q为双曲线C右支上动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得QFM2QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11（本小题满分20分）设x1x2x
是不同的正实数证明：
x1x2x
是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数
2，都有
2x2x2x1
1x
122x2k1xkxk1x2x1
f10．因为a12，a21，a33，a44，a51，a63，a72，a81，a91，
a100，a111，a121，a130，…．所以，自第8项起，每三个相邻的项周期
地取值1，1，0，故a20110．2．111．由题意，b2ac，log6abc6，所以，abc66，故b6236，ac362．于是，36－a是平方数，所以，a只可能为11，20，27，32，35，而a是362的约数，故a27．进而，c48．所以，abcr