第2讲数列的求和及综合应用
高考定位1高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透
真题感悟12017全国Ⅲ卷设数列a
满足a1＋3a2＋…＋2
－1a
＝2
1求a
的通项公式；2求数列2
a＋
1的前
项和解1因为a1＋3a2＋…＋2
－1a
＝2
，①故当
≥2时，a1＋3a2＋…＋2
－3a
－1＝2
－1，②①－②得2
－1a
＝2，所以a
＝2
2－1，又
＝1时，a1＝2适合上式，从而a
的通项公式为a
＝2
2－12记2
a＋
1的前
项和为S
，由1知2
a＋
1＝（2
－1）2（2
＋1）＝2
1－1－2
1＋1，
则S
＝1－13＋13－15＋…＋2
1－1－2
1＋1＝1－2
1＋1＝2
2＋
122017山东卷已知a
是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a31求数列a
的通项公式；2b
为各项非零的等差数列，其前
项和为S
，已知S2
＋1＝b
b
＋1，求数列ba
的前
项和T
解1设a
的公比为q，由题意知a11＋q＝6，a21q＝a1q2，又a
0，解得a1＝2，q＝2，所以a
＝2

f2由题意知：S2
＋1＝（2
＋1）（2b1＋b2
＋1）＝2
＋1b
＋1，
又S2
＋1＝b
b
＋1，b
＋1≠0，所以b
＝2
＋1令c
＝ba
，则c
＝2
2＋
1，
因此T
＝c1＋c2＋…＋c

357
2
－12
＋1
＝2＋22＋23＋…＋2
－1＋2
，
又12T
＝232＋253＋274＋…＋2
2－
1＋22
＋＋11，
两式相减得12T
＝32＋12＋212＋…＋2
1－1－22
＋＋11，
所以T
＝5－2
2＋
5
考点整合
1数列求和
1分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重
新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并
2错位相减法：主要用于求数列a
b
的前
项和，其中a
，b
分别是等差数列和等比数列
3裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干
项的方法，裂项相消法适用于形如a
ac
＋1其中a
是各项均不为零的等差数列，c为常数的数列
温馨提醒1裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误
2a
＝SS1
，－
S＝
－11，，
≥2，忽略
≥2的限定，忘记第一项单独求解与检验2数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲
线上给出S
的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的r