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zzyezxyez0xx
(1)(2)
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f得,
zyezx1xyez
(1)
在方程两边对y求偏导数,
zzxezxyez0yy
(2)(1)
zxez得,y1xyez
三计算下列积分(7×428分)4其中D是由直线y0xyd,
D
yx以及x1所围成的闭区域。
解:区域D可表示为0yx0x1,
(1)(3)(2)(1)
xyddx
D
0
1
1
x
0
xydy
0x2dx
12
32
5
si
x
D
2
y2d,其中D是由x2y21围成的闭区域。
解:区域D在极坐标下可表示为020r1,(2)原0d0si
r2rdr0cos1d1cos1
2
2
1
(3)(1)(1)
12
12
6设曲线积分00xydxkxydy在整个xoy平面内与路径无关,求
11
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f常数k,并计算积分值。解:设PxyQkxy则
QPk1,所以k1xy
QPxy
(2)(2)(3)
原式0xdx01ydy1
1
1
4计算xdydz2ydzdxzdxdy其中是区域0x10y10z1的

整个表面的外侧。解:设V是由围成的闭区域并表示它的体积,由高斯公式原式V
x2yzdvxyz
312(1)
V4dv4V4
四计算题(8×432分)3判别级数敛。解:
(1
1发散,3
1
13

(1
是否收敛,若收敛,是绝对收敛,还是条件收3
1

(2)(3)
110,单调减少,lim
3
3

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f所以
(1
收敛,并且是条件收敛。3
1

(3)
4将函数fxx2e3x展开为x的幂级数。解:ex
0
x

(4)(2)
3
x
2
0

e
3x
3x

0

fxx2e3x
,x
(2)
3求微分方程yy3x的通解。解:yy0的通解为ycex,设原方程的通解为ycxex,代入方程得
cx3xex,得cx3xex3exc
(2)
(4)
原方程的通解为
y3x3cex
(2)
4求微分方程yy2yx的通解。解:特征方程为220,特征根为1221对应的齐次方程的通解为yc1e2xc2ex
11yx24
(2)(2)
是原方程的一个特解原方程的通解为yxc1e2xc2ex
1214
(2)(2)
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f五设级数u
2收敛,证明级r
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