k
1


fxk1
知R3xfxH3x有二重零点xk和k1。设
R3xkxxxk2xxk12确定函数kx当xxk或xk1时kx取任何有限值均可；
当xxkxk1时，xxkxk1，构造关于变量t的函数
gtftH3tkxxxk2xxk12
f显然有gxk0gx0gxk10gxk0gxk10
在xkxxxk1上对gx使用Rolle定理，存在1xkx及2xxk1使得
g10g20在xk1，12，2xk1上对gx使用Rolle定理，存在k1xk1，k212和k32xk1使得
gk1gk2gk30再依次对gt和gt使用Rolle定理，知至少存在xkxk1使得
g40
而g4tf4tk4t4，将代入，得到
kt

14
f
4
xkxk1
推导过程表明依赖于xkxk1及x
综合以上过程有：R3xf4xxk2xxk124确定误差限：
记Ihx为fx在ab上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。
xk
akhk
01
h

ba

在区间xk，xk1上有
fxIhx

f
4xxk2xxk124
1max
4axb
f
4
x
maxx
xkxxl1

xk
2

x

xk1
2
而最值maxxxkxxl1
xk2xxk12

maxs2s12h4
0s1
1h4x16

xk
sh
进而得误差估计：
fxIhx
1h4max384axb
f4x
16、求一个次数不高于4次的多项式px，使它满足p0p00，p1p10，p21。
f解：满足H30H300H31H311的Hermite插值多项式为
x00x11
1
H3xH3xjajxH3xjjxj0

1
2
x110

x1

00

2

x

1

x1

00

2
2x2x3
设
Px

H3x

Ax2
x
12
，令
P2
1得
A

14
于是
Px2x2x31x2x121x2x32
4
4
第3章曲线拟合的最小二乘法
16、观测物体的直线运动，得出以下数据：
i
0
时间ts0
1
2
3
4
5
09
19
30
39
50
距离sm0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：经描图发现t和s近似服从线性规律。故做线性模型sabtspa
1t，
计算离散内积有：
5
5
11126，1ttj00919303950147
j0
j0
5
tt
t
2j

02

092
192

302

392

502

5363
j0
5
1ssj010305080110280j0
5
tstjsj000910193030503980501101078j0
求解方程组得：
1467
5134673
ab


1208708
a7855048，b22253761
f运动方程为：s785504822253761t
5
2
平方误差：2sjstj21102
j0
17、已知实验数据如下：
i
0
1
2
3
4
Xi
19
25
31
38
44
Yi
190
323
490
733
978
用最小二乘法求形如yabx2的经验公式，并计算均方差。
解：spa
1x2，计算离散内积有：
r