第2章插值法
1、当x1,1,2时,fx0,3,4,求fx的二次插值多项式。(1)用单项式基底。(2)用Lagra
ge插值基底。(3)用Newto
基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解:(1)用单项式基底
设多项式为Pxa0a1xa2x2,
1x0所以:A1x1
1x2
x02111x121116x22124
fx0x0x02
a0fx1x1x12
fx2
x2
x
22
1x01x11x2
x02011
x12311
x
22
424
111111147
63124
1fx0x02a11fx1x12
1fx2x22
1x01x11x2
x02101x12131x22144
11111193
62124
1x0a21x1
1x2
fx0fx1fx2
1x01x11x2
x02110
x12113
x
22
12
4
11111155
66124
所以fx的二次插值多项式为:Px73x5x2326
(2)用Lagra
ge插值基底
l0
x
xx0
x1xx2x1x0x2
x1x21112
l1x
xx1
x0xx2x0x1x2
x1x21112
l2x
xx2
x0xx1x0x2x1
x2
1x12
11
fLagra
ge插值多项式为:
L2xfx0l0xfx1l1xfx2l2x
031x1x241x1x1
6
3
5x23x7623
所以
fx的二次插值多项式为:
L2
x
73
32
x
56
x2
3用Newto
基底均差表如下:
xkfxk一阶均差二阶均差
10
13
32
24
73
56
Newto
插值多项式为:
N2xfx0fx0x1xx0fx0x1x2xx0xx1
03x15x1x1
2
6
5x23x7623
所以
fx的二次插值多项式为:
N
2
x
73
32
x
56
x
2
由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。
6、在4x4上给出fxex的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似
值,要使截断误差不超过106,问使用函数表的步长h应取多少?解:以xi1xixi1为插值节点多项式的截断误差,则有
R2
x
13
f
x
xi1x
xi
x
xi1
xi1
xi1
式中xi1xhxi1xh
R2x
1e46
maxx
xi1xxi1
xi1x
xix
xi1
1e46
23
1h3e4h3393
f令e4h3106得h00065893
插值点个数144121681217N1
是奇数,故实际可采用的函数值表步长h4480006579N11216
8、fxx7x43x1,求f202127及f202128。
解:由均差的性质可知,均差与导数有如下关系:
fx0x1x
f
ab
所以有:f202127f77177
f202128f80088
15、证明两点三次Hermite插值余项是
R3xf4xxk2xxk124xkxk1
并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。证明:利用xk,xk1上两点三次Hermite插值条件
H3xkfxkH3xk1fxk1
H
3
xk
f
xk
H
3
xr