第24届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
一、参考解答：如果小球的水平速度比较大，它与平板的第一次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，这时u0的值便是满足题中条件的最大值；如果小球的水平速度u0较小，在它与平板发生第一次碰撞后再次接近平板时，刚好从平板的边缘Q处越过而不与平板接触，这时hBu0
u0的值便是满足题中条件的最小值．
设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为t1，有
P
Q
h
12gt12
（1）
若碰撞正好发生在Q处，则有
Lu0t1
（2）
从（1）（2）两式解得的u0值便是满足题中条件的最大值，即、
u0maxL
代入有关数据得
g2h
（3）
u0max071ms
（4）
如果u0u0max，小球与平板的碰撞处将不在Q点．设小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度为
v1，则有
v12gh
（5）（6）（7）
以v1、V1分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度，由于碰撞时间极短，在碰撞过程中，小球和
mv1mv1mV112121112因为碰撞是弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得mv1mu0mv12mV12mu022222
平板在竖直方向的动量守恒．设小球和平板的质量都是m，则有解（6）（7）两式，得、
v10（8）
V1v12gh（9）
碰撞后，平板从其平衡位置以V1为初速度开始作简谐振动．取固定坐标，其原点O与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合，x轴的方向竖直向下，若以小球和平板发生碰撞的时刻作为t0，则平板在t时刻离开平衡位置的位移式中
xPQAcost2πT
（10）（11）
A和是两个待定的常量，利用参考圆方法，在t时刻平板振动的速度
vPQAsi
t（12）
2ghT（13）2
因t0时，xPQ0．vPQV，由（9）（11）（12）式可求得、、
A
（14）
π2
把（13）（14）式代入（10）式，得、
xPQ
2ghπ2πTcost2π2T
（15）
碰撞后，小球开始作平抛运动．如果第一次碰撞后，小球再经过时间t2与平板发生第二次碰撞且发生在Q处，则在发生第二次碰撞时，小球的x座标为
1
12xBt2gt22
（16）
f平板的x座标为
xPQt2
2ghπ2πTcost22π2T
（17）
在碰撞时，有
xBt2xPQt2
π2490t2441cosπt22
（18）
由（16）（17）（18）式，代入有关数据得、、
（19）
这便是t2满足的方程式，通过数值计算法求解方程可得（参见数值列表）如果第二次碰撞正好r