椭圆典型例题
例1已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0，2）求m的值．解：方程变形为x2y21．因为焦点在y轴上，所以2m6，解得m3．
62m又c2，所以2m622，m5适合．故m5．
例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，0，a3b，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a和b（或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在x轴上时，设其方程为
x2a2

y2b2
1ab0．
由椭圆过点
P3，0，知
9a2

0b2
1．又a
3b，代入得b2
1，a2
9，故椭
圆的方程为x2y21．9
当焦点在
y轴上时，设其方程为
y2a2

x2b2
1a
b
0．
由椭圆过点P3，0，知
9a2

0b2
1．又a3b，联立解得a2
81，b2
9，故椭圆
的方程为y2x21．819
例3ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．
分析：（1）由已知可得GCGB20，再利用椭圆定义求解．
程．
（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方
f解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点
坐标为x，y，由GCGB20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且
除去轴上两点．因a10，c8，有b6，
故其方程为x2y21y0．
10036
（2）设Ax，y，Gx，y，则x2y21y0．
①
10036
由题意有
x


y

x，3代入①，得y3
A的轨迹方程为x2900

y2324
1y

0，其轨迹是
椭圆（除去x轴上两点）．
例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453
和25，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．3
解：设两焦点为
F1、
F2，且
PF1
453
，
PF2
253
．从椭圆定义知
2aPF1PF225．即a5．从PF1PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPF2F1中，
si
PF1F2
PF2PF1
1，2
可求出PF1F2

6
，2c

PF1
cos6

2
53
，从而b2

a2
c2
10．3
∴所求椭圆方程为x23y21或3x2y21．
510
105
例5
已知椭圆方程x2a2

y2b2
1ab0，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，
P是椭圆上一点，A1PA2，F1PF2．求：F1PF2的面积（用b、表
f示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角
的两邻边，从而利用S

12
absi
C
求
面积．
解：如图，设Px，y，由椭圆的对称性，不妨设Px，y，由椭圆的对称性，
不妨设P在第一象限．由余弦定理知：F1F22PF12PF222PF1PF2cos4c2．①
由椭圆定义知：PF1PF2r