备课资料
一、知识总结
1判断三角形解的方法
“已知两边和其中一边的对角”解三角形这类问题分为一解、二解和无解三种情况一方面
我们可以利用课本上的几何图形加以理解另一方面也可以利用正弦函数的有界性进行分
析
设已知A、B、A则利用正弦定理
si
Bbsi
Aa
如果si
B＞1则问题无解
如果si
B＝1则问题有一解
如果求出的si
B＜1则可得B的两个值但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”
等三角形有关性质进行判断
2利用三角形面积证明正弦定理
已知△ABC设BC＝ACA＝BAB＝C作AD⊥BC垂足为D
则Rt△ADB中si
BADAB
∴ADABsi
Bcsi
B
∴S△ABC1aAD1acsi
B
2
2
同理可证S△ABC1absi
C1bcsi
A
2
2
∴S△ABC1absi
C1bcsi
A1acsi
B
2
2
2
∴absi
cbcsi
Aacsi
B
在等式两端同除以ABC可得si
Csi
Asi
B
c
a
b
即abcsi
Asi
Bsi
C
3利用正弦定理进行边角互换
对于三角形中的三角函数在进行恒等变形时常常将正弦定理写成
A2Rsi
AB2Rsi
BC2Rsi
C或si
Aasi
Bbsi
Cc（R为△ABC外接圆半
2R
2R
2R
径）
这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换我们将在以后具体应用
二、典型例题1．若△ABC中A2B2si
ABA2B2si
C则△ABC是（）
A等腰三角形
B直角三角形
C等腰直角三角形
D等腰或直角三角形
分析运用正弦定理A2Rsi
AB2Rsi
B以及结论si
2Asi
2Bsi
ABsi
AB由（A2B2）si
ABA2B2si
C
∴si
2Asi
2Bsi
ABsi
2Asi
2Bsi
Csi
ABsi
ABsi
C
若si
AB0则AB
用心
爱心
专心
1
f若si
AB≠0则si
2Asi
2Bsi
2CA2B2C2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故答案选D
2在△ABC中A45°，B∶C4∶5，最大边长为10，求角B、C外接圆半径及面积
分析：由ABC180°及B∶C4∶5可得B4KC5K，
则9K135°，故K15°那么B60°，C
由正弦定理R105622si
75
由面积公式S1bcsi
A1c2Rsi
Bsi
A75253
2
2
点评：求面积时B未知但可转化为B2Rsi
B从而解决问题3在△ABC中已知A30°，A、B分别为角A、B对边，且A4，B43，解此三角形
分析：由正弦定理知ab443si
B3
si
Asi
Bsi
30si
B
2
那么B160°，C190°，C18或B2120°，C230°，C2点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有2个
4已知△ABC的三个内角成等差数列并且ta
Ata
C23（1）求A、B、C的度数（2）
若AB边上的高CD43求三边A、B、C的长．
分析：（1）由2BAC，得B60°，则AC120°，ta
Ata
C23si
Asi
Cr