边形综合性题目
例4（2012江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BEDF时，∠BAE的大小可以是．
7．15°或165°15°或165°考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：分类讨论．分析：利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BEDF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．解答：解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BEDF时，
ABAD∴BEDF，AEAF
∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE∠FAD，∵∠EAF60°，∴∠BAE∠FAE30°，∴∠BAE∠FAD15°，
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BEDF时，∴ABADBEDFAEAF，
f∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE∠FAD，∵∠EAF60°，∴∠BAE（360°90°60°）×∴∠BAE∠FAD165°故答案为：15°或165°．
160°165°，2
点评：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．
对应训练
4．（2012铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是．
4．2考点：正方形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：证△COA≌△DOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB2OA，得出要使AB最小，只要OA取最小值即可，当OA⊥CD时，OA最小，求出OA的值即可．解答：解：∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD∠ODB45°，∠COD90°，OCOD，∵AO⊥OB，∴∠AOB90°，∴∠CAO∠AOD90°，∠AOD∠DOB90°，∴∠COA∠DOB，∵在△COA和△DOB中
OCAODB，OCODAOCDOB
∴△COA≌△DOB，∴OAOB，∵∠AOB90°，∴△AOB是等腰直角三角形，
f由勾股定理得：AB
OA2OB22OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，ODOF，∴CADA，∴OA
1CF1，2
即AB2，故答案为：2．
点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出AB2OA和得出OA⊥CD时OA最小，题目具有一定的代表性，有一定的难度．
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