专题三、用椭圆中的对称性解题
一、知识点
椭圆是关于_____________________________________________对称
二、例题讲解

例题1方程2

3
1所表示的图形的面积

变式1：画出方程2

3
1表示的图形
例题2如图所示，已知椭圆的方程为

1（a＞b＞0）
，A为椭圆的左顶点，B、C在
椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB30°，则椭圆的离心率等于_________
变式1201610如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆
点，直线y
x2y2
1ab0的右焦
a2b2
b
与椭圆交于BC两点，且BFC90，则该椭圆的离心是
2
．
y
C
B
O
F
x
f例题3（1）过原点的直线与椭圆
x2
y21交于AB两点，F是椭圆的右焦点，则ABF
4
面积的最大值为_____________
（2）过原点的直线与椭圆
x2
y21交于AB两点，F是椭圆的右焦点，则ABF周长的
4
最小值为_____________
x2y2
ab
变式1：已知椭圆的C：2＋2＝1a＞b＞0左焦点为F，椭圆与过原点的直线相交于AB两点，
连接AFBF若AB10BF8cosABF
4
求椭圆的离心率
5
x2y2
变式2：已知椭圆C：2＋2＝1a＞b＞0的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x
ab
4
－4y＝0交椭圆C于A，B两点若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离
5
心率的取值范围是__________
f例题4（利用对称性巧解面积问题）
2
已知椭圆8
2
2
1（2）矩形ABCD的四个顶点均在椭圆上，求矩形ABCD面积的最大值
变式：已知椭圆
2
100

2
25
1，C，D在椭圆上，直线CD过坐标原点O，且在线段AB的右下
侧求四边形ABCD的面积的最大值．
例题5利用椭圆的对称性猜出定点
2
例题5已知椭圆221的上顶点是A点，过点A作互相垂直的两条直线，交椭圆于M，
N两点，证明直线MN必过定点
2
变式：已知椭圆221的右焦点是F点，过点F作互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的
中点分别为M，N两点，
：证明：直线必过定点，并求出此定点
f三、高考题
x2y2
1200812在平面直角坐标系中，椭圆221ab0的焦距为2，以O为圆心，
a
b
a为半径的圆，过点
a2
c
0作圆的两切线互相垂直，则离心率e
3201219如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2y2
1ab0的左、右焦点分别为
a2b2

3
F1c，0，F2c，0．已知1，e和e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
2
（1）求椭圆的离心率；
y
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1
A
P
与直线BF2平行，AF2r