高中数学抽象函数专题
特殊模型和抽象函数
特殊模型
抽象函数
正比例函数fxkxk≠0
fxyfxfy
幂函数fxx

fxyfxfy或fxfx
yfy
指数函数fxaxa0且a≠1
fxyfxfy或fxyfx
fy
对数函数fxlogaxa0且a≠1
fxyfxfy
或fxfxfyy
正、余弦函数fxsi
xfxcosxfxTfx
正切函数fxta
x
fxyfxfy1fxfy
余切函数fxcotx
fxy1fxfyfxfy
一定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1若函数yf（x）的定义域是－2，2，则函数yf（x1）f（x－1）的定义域为
练习：已知函数fx的定义域是12，求函数flog13x的定义域。
2

例2：已知函数flog3x的定义域为3，11，求函数fx的定义域
。
练习：定义在38上的函数fx的值域为22，若它的反函数为f1x，则
yf123x的定义域为
，值域为
。
1
f二、求值问题抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使
问题得以解决。
例3①对任意实数xy，均满足fxy2fx2fy2且f1≠0则f2001_______
②R上的奇函数yfx有反函数yf1x由yfx1与yf1x2互为反函数，
则f2009

例4已知fx是定义在R上的函数，f11且对任意x∈R都有fx5≥fx5fx1≤fx1若gxfx1x则g2002_________
练习：1fx的定义域为0，对任意正实数xy都有fxyfxfy且f42，则
f2
2如果fx

y

fxfy且f1

2则
f2f1

f4f3

f6f5


f2000的值是f2001
。
f21f2
f22f4f23f6f24f8




f1
f3
f5
f7
3、对任意整数xy函数yfx满足：fxyfxfyxy1，若f11，则f8（）
A1
B1
C19
D43
4、函数fx为R上的偶函数，对xR都有fx6fxf3成立，若f12，则f2005
（）
A2005
B2
C1
D0
5、定义在R上的函数Yfx有反函数Yf1x，又Yfx过点（2，1），Yf2x
的反函数为Yf12x，则Yf116为（）
A）1
8
B）1
16
C）8D）16
6、已知a为实数，且0a1fx是定义在0，1上的函数，满足f00f11对所有xy均有fxy1afxafy
21求a的值2求f1的值
7
2
f三、值域问题例4设函数fx定义于实数集上，对于任意实数x、y，fxyfxfy总成立，
且存在x1x2使得fx1fx2，求函数fx的值域。
四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5已知f1si
x2si
xcos2x求fx
例6、设对满足x≠0x≠1的所有实数x，函数fx满足fxr