§53
平面向量的数量积
1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量________叫做a和b的数量积或内积，记作________________．规定：零向量与任一向量的数量积为______．两个非零向量a与b垂直的充要条件是__________，两个非零向量a与b平行的充要条件是__________．2．平面向量数量积的几何意义数量积a等于a的长度a与b在a的方向上的投影____________的乘积．b3．平面向量数量积的重要性质1ea＝ae＝__________；2非零向量a，b，a⊥b__________；3当a与b同向时，ab＝__________；当a与b反向时，ab＝____________，aa＝____________，a＝__________；4cosθ＝____________；5ab______ab4．平面向量数量积满足的运算律1ab＝________交换律；2λab＝________＝__________λ为实数；3a＋bc＝____________5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，则ab＝____________，由此得到1若a＝x，y，则a2＝__________或a＝__________2设Ax1，y1，Bx2，y2，则A、B两点间的距离AB＝AB＝____________3设两个非零向量a，b，a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a⊥b____________难点正本疑点清源1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即a不一定等于abbcc．这是由于a表示一个与c共线的向量，而abbcc表示一个与
→
fa共线的向量，而c与a不一定共线．
1．课本改编题已知向量a和向量b的夹角为135°，a＝2，b＝3，则向量a和向量b的数量积ab＝________2．已知a⊥b，a＝2，b＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．3．已知a＝23，b＝－47，则a在b方向上的投影为______．4．课本精选题设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有________填序号．①abc－cab＝0；②a－ba－b；③bca－a不与c垂直；cb④3a＋4b3a－4b＝9a2－16b25．2011辽宁已知向量a＝21，b＝－1，k，a2a－b＝0，则k等于A．－12C．6B．－6D．12
题型一平面向量的数量积的运算例1已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足a－cb－c＝0，则c1若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且a＝b＝1，则－3aa＋b＝______2如图，在△ABCr