β4线性相关就要找到不全为零的数k1k2k3k4使得k1β1k2β2k3β3k4β40上式的左端可写成k1β1k2β2k3β3k4β4k1α1α2k2α2α3k3α3α4k4α4α1
k1k4α1k1k2α2k2k3α3k3k4α4
1001k1k40kk0110012令由于其系数行列式D0故有非零解即存在不全为零的数k1k2k3k4k2k300110k3k400011亦即k1β1k2β2k3β3k4β40成立使k1k4α1k1k2α2k2k3α3k3k4α40成立
所以β1β2β3β4线性相关9设向量组α1α2α3线性无关证明向量组α1α2α2α3α3α1也线性无关证明设k1α1α2k2α2α3k3α3α10即k1k3α1k1k2α2k2k3α30
k1k30k10因为α1α2α3线性无关k1k20解得k20故向量组α1α2α2α3α3α1线性无关kk0k0233
10判断下列各命题是否正确1若向量组α1α2α
是线性相关的则向量α1可由向量组α2α
线性表示错2若向量β不能由向量组α1α2αm线性表示则向量组α1α2αmβ线性无关错3若k1k2km不全为0时k1α1k2α2kmαm≠0则向量组α1α2αm线性无关错4若向量组α1α2α
和向量组β1β2β
分别线性相关则有不全为0的数k1k2k
使得
k1α1k2α2k
α
0k1β1k2β2k
β
0
同时成立错11利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组
0121131202211
3113330123初等行变换行阶梯形A的列向量组线性无关列向量组0011420001
的极大无关组就是它本身
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f11221112021510212初等行变换2031300211041000无关组为α1α2α3或者α1α2α4或者α1α2α5等等
151行阶梯形A的列向量组的一个极大22002
12求下列向量组的秩及一个极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表示1α11213α24156α31347
1141213TTT解令矩阵Aα1α2α3初等行变换015403670
11951行最简形90000115则向量组的秩R2极大无关组可取为α1α2而α3α1α299TTT2α1110α2020α30030
13设α11124α20324α330714α41120α521562把向量组α1α2扩充成一极大线r