常微分方程解题方法总结
来源：文都教育
复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要
以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、一阶齐次、一阶非齐次、全微分方程、高阶线性微分方程等内容，在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，遇到具体的题目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询
常微分方程名称、形式
通解公式或解法
当gy0时，得到dyfxdx，gy
可分离变量的方程dyfxgydx
两边积分即可得到结果；
当g00时，则yx0也是方程的
解
齐次微分方程dygydxx
解法：令uy，则dyxduudx，代入x
得到xduugu化为可分离变量方程dx
一阶线性微分方程
dyPxyQxdx
yePxdxQxdxCePxdx
f伯努利方程
dyPxyQxy
（
≠01）dx
解法：令uy1
，有du1
y
dy，代入得到du1
Pxu1
Qx
dx
二阶常系数齐次线性微分方程
ypxyqxy0
求解特征方程：2pq0
三种情况：
1两个不等实根：12通解：yc1e1xc2e2x2两个相等实根：12
通解：yc1c2xex
3一对共轭复根：i
通解：yexc1cosxc2si
x
通解为ypxyqxy0的通解与ypxyqxyfx的特解之和
常见的fx有两种情况：
二阶常系数非齐次线性微分方程
ypxyqxyfx
（1）fxexPmx
若不是特征方程的根，令特解yQmxex；若是特征方程的单根，令特解yxQmxex；若是特征方程的重根，
令特解yx2Qmxex；
（
2
）
fxexPmxcosxp
xsi
x
当i不是特征值时，令
fyexQ
1xcosxQ
2xsi
x，当i是特征值时，令yxexQ
xcosxQ
xsi
x
以上以常微分方程为例总结了一些常见题型的解题方法，对于其他知识点也可用类似的形式进行总结，一方面加深印象，另一方面梳理清楚知识点之间的联系，这也是复习中比较实用的方法
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