辅助角公式在高考三角题中的应用
对于形如yasi
xbcosx的三角式,可变形如下:yasi
xbcosx
a2b2si
x
由于上式中的
aab
222
cosxb
bab2
2
。aab
22
aab
2
与
ab
2
2
的平方和为1,故可记
cosθ,
bab2
2
si
θ,则
ya2b2si
xcoscosxsi
a2b2si
x。
由此我们得到结论:asi
xbcosxa2b2si
x,()其中θ由
aa2b2
cos
ba2b2
si
来确定。
通常称式子()为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为yAsi
xk的形式。下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析。一求周期例1(2006年上海卷选)求函数y2cosx
cosx3si
2x的最小正周期。44
二求最值例2(2003年北京市)已知函数fxcos4x2si
xcosxsi
4x。若x0
2
,求fx的最大值和最小值。
三求单调区间例3(2005年江西省)已知向量→2cos
a
xxxxta
,→2si
,ta
,令2422424b
fx→→,求函数fx在0,π上的单调区间。ab
四求值域例4求函数fxcos
6k16k12xcos2x23si
2x333
xRkZ的值域。
五画图象
f例5(2003年新课程)已知函数fx2si
xsi
xcosx,画出函数yfx在区间
2
,
2
上的图象。
六图象对称问题例6如果函数ysi
2xacos2x的图象关于直线x(A)2七图象变换例7(2000年全国)已知函数y怎样的平移和伸缩变换得到?(B)2(C)1(D)1
8
对称,那么a
13cos2si
xcosx1xR。该函数的图象可由ysi
xxR的图象经过22
八求值例8已知函数fx3si
2xsi
xcosx。设α∈(0,π),f
31,求si
α的值。422
九求系数例9(2005年重庆)若函数fx
1cos2xxxasi
cos的最大值为2,试确定常数a的值。224si
x2
十解三角不等式例10(2005年全国Ⅲ)已知函数fxsi
2xsi
2x,x02,求使fx为正值的x的集合。1,解:
y2cosx
4
si
x
4
3si
2xsi
2x
2
3si
2x3si
2xcos2x2si
2x
6
所以函数y的最小正周期Tπ。2,解:fxcos2xsi
2xcos2xsi
2xsi
2xcos2xsi
2x2si
2x
4
。
f由0≤x≤当2x
2
4
≤2x
4
≤
3。4
4
42
,即x0时,si
2x
4
r