递推数列求通项公式的常用类型
递推数列求通项公式是高考的常见题型，现将递推数列通项公式的一些常用类型进行归类并给出解题的基本思路，以供参考。形如a
1a
f
的递推式
类型1
基本思路：利用迭代累加法，将a
a
1f
1，
a
1a
2f
2，
…
a2a1f1，逐次迭代累加，得：a
a1fk
2。
k1

1
例1、已知数列a
满足a11
a
1
1a
1
N，求数列a
的通项公式。解把
a
1
1a
1两边同除以
1得


a
1a
1
1

1
令b

a
1则b
1b
且b11

1
从而b
b1
kk1b112所以a
kk1
k11k1

1
1

1
1
1
1
1


2
1
类型2
形如a
1f
a
的递推式
基本思路：利用迭代累加法，将a
f
1a
1，
a
1f
2a
2，
…
a2f1a1，逐次迭代累加，得：a
a1f1f2f3f
1。
例2、已知数列a
前
项和为S
且a11
a
12S
N，求数列a
的通项公式。


分析利用公式a

S1
1把已知条件中的S
消去SS
2
1
解因为
a
12S
2a1a2a3a
2a1a2a3a
12a
1a
2a
1a
从而a
1

1234
a
故a
a1a1
所以a

123
1
f类型3
形如a
1pa
qp1p0q0的递推式
基本思路：可用待定系数法设a
1pa
与已知式子相比较得
qq从而数列a
成等比1p1p
数列易得a
a1

q
1qp1p1p
例3、已知数列a
满足a11a
12a
1
N，求数列a
的通项公式。


解因为a11a
12a
1得a
112a
1且a112所以a
112
1a112
从而得a
2
1
26例4、数列a
中设a
0a11a
a
12
N，求数列a
的通项公式。


2分析看见a
a
26这种等式一般采用把等式两边同时取对数的方法进行转化12解因为a
0a
a
26所以2log2a
1log2a
61
令b
log2a
有2b
r