第72节可降为一阶的二阶微分方程的解法
含有最高阶导数为二阶导数的微分方程，称为二阶微分方程有一些特殊的二阶微分方程，通过适当的变换，可以化为一阶微分方程求出解后，再积分一次，就可得到原方程的解
y′′fxy′右端不显含y在这种情形下，只要令zy′，则它就变成一阶微分方程z′fxz例如方程y′′pxy′qx令zy′，就变成一阶线性微分方程z′pxzqx求出zzxc1后，再积分得
第一种情形
yzxc1dxc2
例如在方程xy′′y′xy′中，令zy′，则它就变成一阶微分方程
2
∫
xz′zxz2※
或z′
1zz2※※x
2
2
右边的方程※※是伯努利方程见第131节，可按伯努利方程求解不过，不如直接求解左边的方程※先将xz′zxz移项，变成zxz′xz；然后两端同除以z注意丢掉平凡解．．．．．．．zx≡0，则得
2
zxz′x′x，即x2zz
于是，
x22c1x12xxdxx2c1或z2z22x2c1
∫
因此，
2xdxl
x22c1c22c1或yx≡c常数，因为上面的解法中丢掉了解zx≡y′x≡0yzdx
∫
∫x
2
第二种情形y′′fyy′右端不显含自变量xdy在这种情形下，可令uy′并把uuy看作y的函数注意，由于dx
y′′y′′
所以方程y′′fyy′就变成u分离变量方法，求解
dyuycdx
dududyduudxdydxdy
dufyu暂时把y看作自变量求出uuyc后，再用dy
例如求解yy′′y′20，令y′变成
dyddydududyduuy，则y′′u，且原方程dxdxdxdydxdydx
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第二篇
一元函数微积分的进一步应用
duuyu0dy
于是，或者uy0；或者y
dududyu0，分离变量后为因此得dyuy
dyuy≡0dx
或
dyuycydx
左边方程的解为yx≡常数；右边方程的解为yc1ecx显然，后者包括了前者c0因此，原方程的一般解为yc1ecx其中c和c1为任意常数【注】在方程yy′′y′20两端同除以y2，则得
yy′′y′20，y2
即
y′′0y
因此，
y′dyc或cdx解得yc1ecxyy
第三种情形像上注那样，若原方程可以写成
dxyy′≡0dx则xyy′≡c变成一阶微分方程例如微分方程yy′′y′20它可以写成yy′′0，所以．．．．．．．．
yy′c或ydycdx因此，原方程的一般解为y2cxc1（解被表示成隐函数）
根据提示做习题
1求下列二阶微分r