2015年全国高中数学联赛（B卷）（一试）
一、填空题（每个小题8分，满分64分1：已知函数fx值范围是2：已知yfxx3为偶函数，且f1015，则f10的值为3：某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：
axxalog2
x03x3
，其中a为常数，如果f2f4，则a的取
Tasi
tbcostt0，其中ab为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，
则ab的最大值是4：设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形，如果二面角A1BDC1的大小为
，则AA13
5：已知数列a
为等差数列，首项与公差均为正数，且a2a5a9依次成等比数列，则使得
a1a2ak100a1的最小正整数k的值是
226：设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集Axyxy2xy和


Bxykxyk30，若AB是单元集，则k的值为
7：设P为椭圆
y2x21上的动点，点A11B01，则PAPB的最大值为43
8：正2015边形A1A2A2015内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点AiAj，则OAiOAj1的概率为二、解答题9：（本题满分16分）数列a
满足a13对任意正整数m
，均有am
ama
2m
（1）求a
的通项公式；（2）如果存在实数c使得
a
i1
k
1
i
c对所有正整数k都成立，求c的取值范围
f10：（本题满分20分）设a1a2a3a4为四个有理数，使得：
31aa1ij424213，求aa
ij

2
8

1
2
a3a4的值
11：（本题满分20分）已知椭圆
x2y21ab0的右焦点为Fc0，存在经过点Fa2b2
的一条直线l交椭圆于AB两点，使得OAOB，求该椭圆的离心率的取值范围
f（加试）
1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数abc都有：
abc2bac2cab21，并确定等号成立的充要条件ab2bc2ca22
2：（本题满分40分）如图，在等腰ABC中，ABAC，设I为其内心，设D为ABC内的一个点，满足IBCD四点共圆，过点C作BD的平行线，与AD的延长线交于E求证：CDBDCE
2
f满足：3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组abcabc2015
abc1bac1cab1
4：（本题满分50分）给定正整数m
2m
，设a1a2am是12
中任取m个互r