2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案
一试
一、选择题：（每小题8分，共64分）
1等比数列a
的各项均为正数，且a1a3a2a62a3236则a2a4的值为
．
答案：6．
解：由于36a1a3a2a62a32a22a422a2a4a2a42且a2a40故a2a46
另解：设等比数列的公比为q，则a2a6a1qa1q5又因
36a1a3a2a62a32a1a1q2a1qa1q52a1q22

a1q22a1qa1q3
a1q3
2

a1qa1q3
2

a2a4
2
而a2a40，从而a2a46
2设Aa1a2，则平面点集BxyxyAxy0的面积为
．
答案：7．解：点集B如图中阴影部分所示，其面积为
S正方形MNPQS
MRS

33
1222
7
3已知复数z满足z22zzz（z表示z的共轭复数），则z的所有可能值的积为．答案：3．
解：设zabiabR由z22zz知，
a2b22abi2a2biabi比较虚、实部得a2b2a02ab3b0又由zz知b0，从而有
2a30即a3，进而ba2a3
2
2
于是，满足条件的复数
z
的积为


32

32
i



32

32
i


3
4已知fxgx均为定义在R上的函数，fx的图像关于直线x1对称，gx的图
1
f像关于点12中心对称，且fxgx9xx31，则f2g2的值为
．
答案：2016解：由条件知
f0g02①
f2g2818190②
由fxgx图像的对称性，可得f0f2g0g24结合①知，
f2g24f0g02③
由②、③解得f248g242从而f2g248422016
另解：因为
fxgx9xx31，①
所以
f2g290②
因为fx的图像关于直线x1对称，所以
fxf2x③
又因为gx的图像关于点12中心对称，所以函数hxgx12是奇函数，
hxhx，gx12gx12，从而gxg2x4④
将③、④代入①，再移项，得
f2xg2x9xx35⑤
在⑤式中令x0，得
f2g26⑥
由②、⑥解得f248g246于是f2g22016
5将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子ABCDE中，恰有两个球放在同一
盒子的概率为
．
解：样本空间中有53125个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
C32

P52

60过所求的概率为
p

60125

1225
6在平面直角坐标系xOy中，圆C1x2y2a0关于直线l对称的圆为
2
fC2x2y22x2ay30则直线l的方程为
．
答案：2x4y50解：C1C2的标准方程分别为
C1x2y21C2x12ya2a22
由于两圆关于直线l对称，所以它们的半径相等．因此aa220解得a2故C1C2
的圆心分别是O100O212直线l就是线段O1O2的垂直平分线，它通过O1O2的中点
M


12
1
，由此可得直线
l
的方程是
2r