§22求导法则与导数的基本公式
教学目标与要求
1掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2理解反函数的导数并能应用；3理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。
教学重点与难度
1会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；2会求反函数的导数；3会求复合函数的导数
前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数初等函数的导数。
一、函数的和、差、积、商求导法则
1函数的和、差求导法则定理1函数ux与vx在点x处可导，则函数yuxvx在点x处也可导，且
yuxvxuxvx
同理可证：uxvxuxvx
即证。注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即
u1xu2x
u
x

u1
x
u2
x

即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
ux，

f例1求函数yx4cosxl
x的导数2
解
y


x4

cos
x

l

x

2



x
4



cos
x



l

x



2

4x3si
x1x
2函数积的求导公式定理2函数ux与vx在点x处可导，则函数yuxvx在点x也可导，且
yuxvxuxvxuxvx。
注意：1）特别地，当uc（c为常数）时，ycvxcvx，
即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：
yauxbvxauxbvx。
2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即
u1u2u
u1u2u
u1u2u
u1u2u
。
例2求下列函数的导数。
1）y3x32x25x4si
x；
解y3x32x25x4si
x
f9x24x54cosx
2）y3x34l
x5cosx
解y4x45si
xx
例3求下列函数的导数
1）yx34xsi
x；
2）yx3l
xcosx
解1）
yx34xsi
xx34xsi
xxsi
x
3x241si
xxcosx3x22si
x4xcosx
2x
x
2）
yx3l
xcosxx3l
xcosxx3l
xcosxx3l
xcosx
3x2l
xcosxx31cosxx3l
xsi
xx
x23l
xcosxcosxxl
xsi
x
3函数商的求导法则
定理3函数ux与vx在点x处可导，且vx0，则函数yux在点x处也可vx
导，且
y


uxvx


uxv
xuv2x
xv
x
所以
yx

vxuuxv
x
x
vxxvx
因为vx可导必连续故limvxxvx于是x0
fy

lim
y

vx
lim
x0
ux
u
x
lim
x0
vx
x0x
vxlimvxx
x0
ur