，则下列命题中错误的是A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1
2
fD．直线AH和BB1所成角为45°解析：因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确．答案：D8．文2009天津高考如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝221证明PA∥平面BDE；2证明AC⊥平面PBD；解：1证明：设AC∩BD＝H，连结EH在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA又EH平面BDE且PA平面BDE，所以PA∥平面BDE2证明：因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC由1可得，DB⊥AC又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD理2009北京高考如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC1求证：BC⊥平面PAC；2当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；3是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．解：1∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC2∵D为PB的中点，DE∥BC，1∴DE＝BC2又由1知，BC⊥平面PAC，
3
f∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD＝1AB2
1在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB，2DEBC2∴在Rt△ADE中，si
∠DAE＝＝＝，AD2AD4即AD与平面PAC所成角的正弦值为24
3∵DE∥BC，又由1知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC这时，∠AEP＝90°，故存在点E使得二面角A－DE－P是直二面角．
题组四
理直线与平面所成的角、二面角
9．2009浙江高考在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是A．30°B．45°C．60°D．90°
解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝31，DE＝，22
4
f3AE2ta
∠ADE＝＝＝3，DE12∴∠ADE＝60°答案：C10．设P是60°的二面角α－l－β内一点，PA⊥α，PB⊥β，Ar