习题41
1设随机变量X的概率密度为
2x0≤x≤1
1fx
0其他
1
2fx2ex∞∞
求EX
∞
x3
1
1
2
解1EX∫∞xfxdx∫0x2xdx2
20
3
∞
∞
1
2EX∫∞xfxdx∫∞xex0
2
2设连续型随机变量X的分布函数为
0x1
Fxabarcsi
x1≤x1
1x≥1
arcsi
x的导数为
试确定常数ab并求EX
解
arcta
x的导数为
b
2
1fxF′x√1x
√1x2
1
√1x2
1≤x1
0其他
∞
∫
1
1
b
1
dxbarcsi
x
1
2
1
1√1x
fxdx∫
∞
即b
1
π
又因当1≤x1时
X
x
1
1
1
1
1
1
x
dxarcsi
x
arcsi
x即a
1π
2
π
2
2
1π√1x
FX∫fxdx∫
1
∞
1x
1
2EX∫∞xfxdx∫1
0
π√1x2
3设轮船横向摇摆的随机振幅X的概率密度为
2
1x2
x0
fxσ2e2σ
0
x≤0
求EX
∞
解EX∫∞xfxdx
1
∞
∫
σ20
xe
x2
2
2σdx
1
4设X1X2…X
独立同分布均值为μ且设Y
1
1

1
∑
i1Xi求EY
1
解EYE∑
XiE∑
i1Xi
μμ
i1



5设XY的概率密度为
fxy
ey
0≤x≤1y0
0
其他
求EXY
∞
∞
∞
解EXY∫∞∫∞xyfxydxdy∫0
1
∞1
∫0xyeydxdy∫0
2
eyyeydy
3
2
f6设随机变量X1X2相互独立且X1X2的概率密度分别为
2e2xx0
f1x
0x≤0
3e3x
f2x
0
该题服从指数分布
故EX
x0
x≤0
1
λ
求1E2X13X22E2X13X223EX1X2
解
1
1
1E2X13X22EX13EX222332
2E2X13X22
2EX13EX22
∞
x23e3xdx
13∫
0
∞
x2de3x
13∫
0
2
13xe
∞
∞
∫
0
0
3x
e3xdx2
∞
e3x2xdx
130∫
0
∞
2
13∫
30
e3x3xdx
21
13
33
1
1
1
3
1
3EX1X2EX1EX2236
7已知二维随机变量XY的分布律为
Y
X
1
2
0
1
2
01
03
02
01
01
02
求EX
解EX∑i∑jxipij00100310210120120209
8设随机变量X的概率密度为
cxα
0≤x≤1
fx
0
其他
且EX075求常数c和α
∞
1
解EX∫∞xfxdx∫0xcxαdx075
f习题42
1设离散型随机变量X的分布律为
X
1
0
05
1
2
P
01
05
01
01
02
求EXEX2DX
解EX1010050501101202045
EX212010050520112012202r