第十三节
导数的应用二
利用导数研究恒成立问题及参数求解
典题导入例1已知函数fx＝xl
x－ax－1，a∈R1当a＝－1时，求曲线fx在点1，f1处的切线方程；2若当x≥1时，fx≥0成立，求a的取值范围．自主解答1当a＝－1时，fx＝xl
x＋x－1，
2222
f′x＝2xl
x＋3x
则曲线fx在点1，f1处的切线的斜率为f′1＝3，又f1＝0，所以切线方程为3x－y－3＝02f′x＝2xl
x＋1－2ax＝x2l
x＋1－2a，其中x≥11当a≤时，因为x≥1，所以f′x≥0，所以函数fx在1，＋∞上单调递增，故2
fx≥f1＝0
11当a时，令f′x＝0，得x＝ea－2211若x∈1，ea－，则f′x0，所以函数fx在1，ea－上单调递减．所以当x221∈1，ea－时，fx≤f1＝0，不符合题意．21综上a的取值范围是－∞，2由题悟法利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：1已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．2已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′x≥0或f′x≤0恒成立的问题．3已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致
1
f图象，数形结合求解．以题试法12xx1．设函数fx＝x＋e－xe21求fx的单调区间；2若当x∈－22时，不等式fxm恒成立，求实数m的取值范围．解：1函数fx的定义域为－∞，＋∞，∵f′x＝x＋e－e＋xe＝x1－e，若x＝0，则f′x＝0；若x0，则1－e0，所以f′x0；若x0，则1－e0，所以f′x0∴fx在－∞，＋∞上为减函数，即fx的单调减区间为－∞，＋∞．2由1知，fx在－22上单调递减．故fxmi
＝f2＝2－e，∴m2－e时，不等式fxm恒成立．故m的取值范围为－∞，2－e．
222
x
x
x
x
x
x
利用导数证明不等式问题
典题导入l
x例2已知fx＝ax－l
x，x∈0，e，gx＝，其中e是自然常数，a∈R
x
1讨论a＝1时，函数fx的单调性和极值；12求证：在1的条件下，fxgx＋2自主解答1∵fx＝x－l
x，1x－1f′x＝1－＝，xx∴当0x1时，f′x0，此时fx单调递减；当1xe时，f′x0，此时fx单调递增．∴fx的极小值为f1＝11－l
x2证明：由1知fxmi
＝1又g′x＝，2
x
∴当0xe时，g′x0，gx在0，e上单调递增．
2
f11∴gxmax＝ge＝e21∴fxmi
－gxmax21∴在1的条件下，fxgx＋2
在本例条件下，是否存在正实数a，使fx的最小值是3？若r