B∈则
若xA∈则xAB∈。由于ABAC故xAC∈即xC∈若xA∈则xAB∈由于ABAC故xAC∈。又xA∈只能有xC∈。因此xB∈总有xC∈故BC。
同理可证CB。
因此BC。
证2BBABBACB
ABCCABCCABCACC
8设ABC为集合试证
ABCABCB
证证ⅠxABC∈有xAxBxC∈∈∈因此xAB∈xCB∈。故xABCB∈即ABCABCB。
f反之xABCB∈有xAB∈xCB∈。因此xAxBxC∈∈∈。故xABC∈即ABCBABC。
所以ABCABCB。
证ⅡCCCCCABCBABCBABCBCCABCABC
9设XYZ证明ZYXXZY
证证1xZYX∈XYZXYZCCC有xZ∈且xY∈或xX∈。则
若xZ∈且xY∈则xZY∈于是xX
ZY∈。若xZ∈且xX∈则xXZY∈从而
ZYXX
ZY。反之xXZY∈则xX∈或xZY∈。
若xX∈则由XYZ有xYxZ∈∈故xYX∈因此xZYX∈。若xZY∈则xZ∈但xY∈故xYX∈因此xZYX∈。从而
XZYZYX。
由集合相等的定义ZYXXZY。
证2CC
CZYXZYXZYXZYZX因为XZ所以CZYXZ
YXXZY。
10下列命题是否成立1ABCABC2ABCABC
3ABCABB。
解123都不成立。反例如下
1BCA1φ任意则1ABCCABCφ。
211ABCφ则1ABCABCφ。
f3112ABCφ则2ABCACBφ。
11下列命题哪个为真
a对任何集合ABC若ABBC则AC。
b设ABC为任何集合若ABAC则BC。c对任何集合AB222A
BAB。d对任何集合AB222AB
AB。e对任何集合AB222ABAB。
f对任何集合AB222ABAB。
答案d是真命题。
12设RST是任何三个集合试证
1STSTST
2RSTRSRT
3RSRTRSTRSRT
4RSTRSRT
证1xST∈STTS则
若xS∈则xT∈。因而xST∈且xST∈故xSTST∈若xS∈则xT∈同理可得xSTST∈。故
STSTST。
反之因为STST故
STSTSTSTφSTTS。xSTST∈STST有xSTxST∈∈。若xS∈则xT∈故x∈ST
若xS∈则xT∈故x∈ST。因此
STSTST。
所以STSTST。
f2证x∈RSRT有xRS∈且xRT∈。则若xR∈则xS∈且xT∈故xST∈x∈RSTr