教材习题解答
第一章集合及其运算
8P习题
3写出方程2210xx的根所构成的集合。
解2210xx的根为1x故所求集合为1
4下列命题中哪些是真的哪些为假
a对每个集AAφ∈b对每个集AAφ
c对每个集AAA∈d对每个集AAA∈
e对每个集AAAf对每个集AAA
g对每个集A2AA∈h对每个集A2AA
i对每个集A2AAj对每个集A2AA∈
k对每个集A2Aφ∈l对每个集A2Aφ
m对每个集AAA
φφ
oφ中没有任何元素p若AB则22AB
q对任何集AAxxA∈r对任何集AxxAyyA∈∈s对任何集AyAyxxA∈∈∈t对任何集AxxAAAA∈≠∈答案假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真
5设有
个集合12
AAA且121
AAAA
试证12
AAA
证明由1241
AAAAA
可得12AA且21AA故12AA。同理可得134
AAAA
因此123
AAAA6设Sφφ试求2S
f解2Sφφφφφ
7设S恰有
个元素证明2S有2
个元素。
证明1当
0时02212SSSφφ命题成立。
2假设当0
kkkN≥∈时命题成立即22SkSk时。那么对于1S11Sk12S中的元素可分为两类一类为不包含1S中某一元素x的集合另一类为包含x的集合。显然这两类元素个数均为2k。因而1122Sk亦即命题在1
k时也成立。
由1、2可证得命题在
N∈时均成立。
16P习题
1设A、B是集合证明
ABBABBBφ
证当Bφ时显然ABBABB得证。
假设Bφ≠则必存在xB∈使得xABB∈但xABB∈故ABBABB≠与题设矛盾。所以假设不成立故Bφ。
2设A、B是集合试证ABABφ
证显然。
反证法假设Aφ≠则0xA∈若0xB∈则0x∈左但0x右矛盾。
若0xB∈则0x∈左但0x∈右矛盾。故假设不成立即Aφ。
3设ABC是集合证明
ABCABC
证CCABCABBACABBAC
CCCCCCCCCCABB
ACCA
BBAAB
CB
ACCA
BBA
CCCCCCABCBACCABAB
fCCCCCCABCABCABCABC
由上式可以看出此展开式与A、B、C的运算顺序无关因此ABCABC
4设ABC为集合证明ABCABC
证因为CC
CABCABCABCCABCABC。
5设ABC为集合证明
ABCACBC证CCCABCABCACBCACBC。
6设ABC为集合证明
ABCACBC
证明CCABCABCABCCCACBCACBC
7设ABC都是集合若ABAC且ABBC试证BC。
证证1xr