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、B分别放在两斜面上,由一根跨过滑轮的细线连接着,已知倾角为α的斜面粗糙,物块与斜面间摩擦因数为μ;倾角为β的斜面光滑,为了使两物块能静止在斜面上,试列出α、β必须满足的关系式。解析:因题目中没有给出具体数值,所以精糙斜面上物块的运动趋势就不能确定,应考虑两种可能。令细线的张力为T,假设物块A有沿斜面向上运动的趋势时,对A物块有:T-μWcosαWsi
α对B物块有:TWsi
β两式联立解得:si
βsi
αμcosα同理,假设物块A有沿斜面向下运动的趋势时,可解得:si
βsi
α-μcosα因此,物块静止在斜面上时两倾角的关系为si
α-μcosα≤si
β≤si
αμcosα例6:如图106所示,半径为r的铅球内有一半径为的球形空腔,其表面与球面相切,此铅球的质量为M,在铅球和空腔的中心连线上,距离铅球中心L处有一质量为m的小球(可以看成质点),求铅球小球的引力。解析:设想把挖去部分用与铅球同密度的材料填充,填充部分铅球的质量为M1。为了抵消填充球体产生的引力,我们在右边等距离处又放置一个等质量的球体。如图106甲所示。设放置的球体的质量为M1,则:M1ρ1
r411π3M0M2387r2
填补后的铅球质量:
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kucom
fM0MM1M则原铅球对小球引力为:FF0-F1
GM0m4GMm12GM1m8GMm4GMm--[2-]222r72Lr2Lr2LL7L7L22
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例7:三个半径为r、质量相等的球放一在一个半球形碗内,现把第四个半径也为r,质量也相等的相同球放在这三个球的正上方,要使四个球都能静止,大的半球形碗的半径应满足什么条件?不考虑各处摩擦。解析:假设碗的球面半径很大,把碗面变成平面。因为各接触面是光滑的,当放上第四个球后,下面的三个球会散开,所以临界情况是放上第四个球后,下面三个球之间刚好无弹力。把上面的球记为A,下面三个球分别记为B、C、D,则四个球的球心连起来构成一个正四面体,正四面体的边长均2r,如图107所示。设A、B球心的连线与竖直方向的夹角为α,设碗面球心为O,O与B球心的连线与竖直方向的夹角为β,碗面对上面三个球的作用力都为F,如图107甲所示。先以整体为研究对象,受重力、碗面对三个球的弹力F,在竖直方向上有:3Fcosβ4mg①再以B球为研究对象,受重力mg、碗面对B球的作用力F、A球对B的压力FN,根据共点力平衡条件,有:
FcosmgFNcos,消去FN,得:Fsi
FNsi
Fsi
ta
αFcosr
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