二○○五年全国高中数学联合竞赛试题
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。1.使关于x的不等式x36xk有解的实数k的最大值是(A.63解:令yB.3C.63D.6)
x36x3x6则y2x36x2x36x2x3
6x60y6实数k的最大值为6。选D。
2.空间四点A、B、C、D满足AB3BC7CD11DA9则ACBD的取值(A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个)
解:注意到3211211307292由于ABBCCDDA0则DA2DA
2
ABBCCD2AB2BC2CD22ABBCBCCDCDABAB2
BC2CD22BCABBCBCCDCDABAB2BC2CD22AB
2
BCBCCD即2ACBDAD2BC2AB2CD20ACBD只有一个值得0,故选A。
3.ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1。则
AA1cos
A.2
ABCBB1cosCC1cos222的值为(si
Asi
Bsi
C
B.4C.6
)D.8
解:如图,连BA12si
B1,则AA
AABCBC2si
2222
2cos
BC22
AA1cos
ABCAABCACB2coscoscoscoscosCcosB22222222BCAsi
Csi
B同理BB1cossi
Asi
CCC1cossi
Asi
BAA1cosBB1222BC2si
Asi
Bsi
CcosCC1cos2si
Asi
Bsi
C原式2选A22si
Asi
Bsi
C
4.如图,ABCDABCD为正方体。任作平面与对角线AC垂直,使得与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l则()llA.S为定值,不为定值B.S不为定值,为定值C.S与l均为定值D.S与l均不为定值
1
f解:将正方体切去两个正三棱锥AABD与CDBC后,得到一个以平行平面ABD与DBC为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱AB剪开,展平在一张平面上,得到一个
ABB1A1,而多边形W的周界展开后便成为一r