普通高中课程标准实验教科书数学人教版
高三新数学第一轮复习教案（讲座27）正、余弦定理及应用
一．课标要求：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．命题走向
对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角
函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角
等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，
结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可
能是中、难度的解答题。
三．要点精讲
1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
si
A＝cosB＝a，cosA＝si
B＝b，ta
A＝a。
c
c
b
2．斜三角形中各元素间的关系：
如图629，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
abc2R。si
Asi
Bsi
C
（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：
（1）△＝1aha＝1bhb＝1chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；222
（2）△＝1absi
C＝1bcsi
A＝1acsi
B；
2
2
2
（3）△＝a2si
Bsi
C＝b2si
Csi
A＝c2si
Asi
B；2si
BC2si
CA2si
AB
（4）△＝2R2si
Asi
Bsi
C。（R为外接圆半径）
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f（5）△＝abc；4R
（6）△＝ssasbsc；s1abc；
2

（7）△＝rs。4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以
包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形
的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；
若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应r