的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：ABCπ；（2）边与边关系：abc，bca，cab，a－bc，b－ca，c－ab；（3）边与角关系：
正弦定理abc2R（R为外接圆半径）；si
Asi
Bsi
C
余弦定理c2a2b2－2bccosC，b2a2c2－2accosB，a2b2c2－2bccosA；
它们的变形形式有：a2Rsi
A，si
Aa，cosAb2c2a2。
si
Bb
2bc
5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，ABCπ，所以si
ABsi
C；cosAB－cosC；ta
AB
－ta
C。si
ABcosCcosABsi
C；
2
2
2
2
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r为三角形内切圆半径，p为周长之半。
（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。
四．典例解析
题型1：正、余弦定理例1．（1）在ABC中，已知A3200，B8180，a429cm，解三角形；（2）在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，
边长精确到1cm）。
解析：（1）根据三角形内角和定理，
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fC1800AB1800320081806620；
根据正弦定理，
b

asi
Bsi
A

429si
8180si
3200
801cm
；
根据正弦定理，
c

asi
Csi
A

429si
6620si
3200

741cm
（2）根据正弦定理，
si

B

bsi
a
A

28si
40020
08999
因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160
①当B640时，C1800AB1800400640760，
c

asi
Csi
A

20si
760si
400

30cm
②当B1160时，
C
1800


A

B
1800

400
1160

240
，
c

asi
Csi
A

20si
240si
400
13cm
点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有
两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．（1）在ABC中，已知a23，c62，B600，求b及A；（2）在ABC中，已知a1346cm，b878cm，c1617cm，解三角形解析：（1）∵b2a2c22accosB
23262222362cos450
126224331
8
∴b22
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
解法一：∵cos
A
b2
c22bc
a2

2
2222
62
22262
32

12

∴A600
解法二：∵si

A
ab
si

B
22
3si
4502
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f又∵62＞24143823＜21836∴a＜c，即00＜A＜900
∴A600（2）由余弦定理的推论得：
cos
A
b2
c22bc
a2

8782161721346228781617
05543
A56020；
cos
B

c2
a2b22ca
13426213146617126187782
r