任意
小区间xxdx内的概率，则有
2
fpxXxdx
xdx
ftdxfxdx
x
由于区间xxdx的长度非常小，随机变量X在xxdx内的全部取值都可近似为
x，而取值的概率可近似为fxdx。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。
定义2设X是连续随机变量，其密度函数为fx。如果
xfxdx
收敛，定义连续随机变量X的数学期望为
EXxfxdx
也就是说连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。由连续随机变量数学期望的定义不难计算：
若XUab，即X服从ab上的均匀分布则EXab2
若X服从参数为的泊松分布，则
EX
若X服从N2则
EX
3随机变量函数的数学期望
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是随机变量X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说gX的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。
一种方法是，因为gX也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的
X的分布求出来。一旦我们知道了gX的分布，就可以按照数学期望的定义把EgX
计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数gX的分布，一般是比较复杂的。
3
f那么是否可以不先求gX的分布，而只根据X的分布求得EgX呢？答案是肯定的，
其基本公式如下：
设X是一个随机变量，YgX，则

EY


Eg

X




gxkpk
k1
X离散



gx
f
xdx
X连续
当X是离散时X的概率函数为PxkPXxKPKk12；
当X是连续时，X的密度函数为fx。
该公式的重要性在于，当我们求EgX时不必知道gX的分布，而只需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。
4数学期望的性质
（1）设C是常数，则ECC。（2）若k是常数，则EkXkEX。
（3）EX1X2EX1EX2。



推广到
个随机变量有EXiEXi。
i1
i1
（4）设X、Y相互独立，则有EXYEXEY。



推广到
个随机变量有EXiEXi
i1
i1
5数学期望性质的应用
例2求二项分布的数学期望。
解若XB
p，则X表示
重贝努里试验中的“成功”次数，现在我们来
求X的数学期望。若设
1如第i次试验成功Xi0如第i次试验失败
i12，…，

4
f则XX1X2X
，因为PXi1P，PXi01Pq
所以EXi0q1pp，则



EXEXiEXi
p
i1
i1
可见，服从参数为
和p的二项分布的随机变量X的数学期望是
p。
需要指出，不是所有的随机r