第9讲随机变量的数学期望与方差
教学目的：1掌握随机变量的数学期望及方差的定义。2熟练能计算随机变量的数学期望与方差。
教学重点：1．随机变量的数学期望2．随机变量函数的数学期望3．数学期望的性质4．方差的定义5．方差的性质
教学难点：数学期望与方差的统计意义。教学学时：2学时。教学过程：
第三章随机变量的数字特征
§31数学期望
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望
我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量，如何定义X取值的平均值呢？若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为
032130217321127100100100100
这个数能作为X取值的平均值吗？
1
f可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是127。
对于一个随机变量X，若它全部可能取的值是x1x2，相应的概率为P1P2，则对X作一系列观察试验所得X的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现xk的频率会接近于PK，于是试验值的平均值应接近

xkpk
k1
由此引入离散随机变量数学期望的定义。
定义1设X是离散随机变量，它的概率函数是
pxkPXxKPKk12

如果xkpk收敛，定义X的数学期望为k1

EXxkpkk1
也就是说离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。
例1某人的一串钥匙上有
把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地
试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数
的数学期望。解设试开次数为X，则
于是
pX

k

1

，
k
12

EX
k111

1
k1
2
2
2连续随机变量的数学期望
为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X是连续随机变量，其密度函数为fx，把区间分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X落在r