fx必定存在3
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o存在N使得当
N
mN时，有x
xm成立。2极限运算相关法则、定理及推论（1）设α、β为同一极限过程下的无穷小0（无穷小）（2）穷小之积为无穷小0（无穷小）
3
f推论：常数与无穷小之积为无穷小有限个无穷小之积为无穷小
（3）有界函数与无穷小之积为无穷小u0
（4）函数极限运算法则
定理：设limfx0，limgxB则
limfxgxlimfxlimgxABlimfxgxlimfxlimgxAB
若B

0，则lim
fxgx

limlim
fxgx

AB
推论1如果limfx存在，而c为常数那么limcfxclimfx
推论2fxA
N则limfx
limfx
定理（复合函数求极限法则）
设函数yfgx是由函数ugx与函数yfu复合而成，fgx在点
limlimx0的某去心邻域内有定义，若xx0gxu0，xx0A且存在00，当
Ulimlimx

x00时，有gxu0，则xx0
fgx
uu0
fuA。
两个重要极限：
limx0
si
x
x
1
lim
11xe即若limfx0fx0，
x
x
1
则lim1fxfxe
常用等价无穷小：当x0时，xsi
xta
xarcta
xarcta
xl
1x

1xx，ex1x，1cosxx2，（1ax）babx


2
ax1xl
a（a0a1）
计算极限方法总结（1）直接带入求极限
4
f例1lim8x23x1x1
【解】lim8x23x1x1
lim8x2lim3xlim1
x1
x1
x1
8limx23limx1
x1
x1
lim8
x
2

3

1
x1
6
（2）约零因子求极限
lim例2求极限
x41
x1x1
【说明】x→1表明x与1无限接近，但x1。所以x1这一零因子可以约去。
limlim【解】
x1x1x21
x1x214
x1
x1
x1
（3）分子分母同除求极限（公式法）
lim例3求极限
x3x2
x3x21
【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求。
limlim【解】
x
x3x23x31

x
11x
3
1x3
13
【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方

lim（2）
x

a
x
a
1x
1a0bmxmbm1xm1b0
0



a

b

m
m
mm
4分子分母有理化求极限
例4求极限limx23x21x
【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式
5
flimlim【解】
x23x21
x23x21x23
x
x
x23x21
lim
2
0
xx23x21
x21
lim例5求极限
ta
x11si
x
x0
x3
limlim【解】
x0
ta
x1x3
si
x1
x0
x3
ta
xsi
xta
x1si
x1
limlim1
ta
xsi
x

x3
x0
ta
x1
si
x1x0
x3
lim1
ta
xsi
x1
2x0
x3
4
【注】本题除使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非r