函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（εδ和εN定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。1
二．极限知识点总结
1极限定义函数极限：设函数fx在点的x0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式
0xx0时，对应的函数值都满足不等式：fxA
lim那么常数A就叫做函数fx当x→x0时的极限，记作xx0fxA。2lim单侧极限：左极限：xxfxA或fxAx左右极限：limfxA或fxAx右
xx
定理：limfxAfxfxAxx0limfxfx0fx0fx0fx0xx0
函数fx当xx0时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相
lim等即fx0fx0
fx。
xx0
2极限概念
函数极限可以分成xxxxx0以xx0的极限为例，fx
在点x0以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存
在正数δ，使得当x满足不等式
时，对应的函数值fx都满足不
2
f等式：fxAε，那么常数A就叫做函数fx当x→x。时的极限。函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性23存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面
介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ如果数列x
，y
及z
满足以下条件：
（1）从某项起，即
0N，当
0时，有y
x
z
；
（2）limy
a；limz
a，
x
x
那么数列
x


的极限存在，且
limx
x


a
准则Ⅰ＇如果（1）当
x

U

x0

r

（或

x
M
）时，
gx
f
x
hx
limlimgxA
hxA
（2）xx0
，xxo
，
x
x
limfx
那么xx0
存在，且等于A。
x

夹逼定理：（1）当xUx0r时，有
成立
（2）
那么，fx0极限存在，且等于A
【准则Ⅰ，准则Ⅰ合称夹逼定理】准则Ⅱ：单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇：设函数fx在点x0的某个左右邻域内单调并且有界，则fx
在x0的左右极限fxr