1994年全国高中数学联赛试题
第一试一、选择题每小题6分，共36分1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asi
xbcosxc0都成立的充要条件是Aa，b同时为0，且c0Ba2b2cCa2b2cDa2b2c2、给出下列两个命题：⑴设a，b，c都是复数，如果a2b2c2，则a2b2－c20；⑵设a，b，c都是复数，如果a2b2－c20，则a2b2c2．那么下述说法正确的是A命题⑴正确，命题⑵也正确B命题⑴正确，命题⑵错误C命题⑴错误，命题⑵也错误D命题⑴错误，命题⑵正确13、已知数列a
满足3a
1a
4
≥1，且a19，其前
项之和为S
，则满足不等式S
－
－6的125最小整数
是A5B6C7D8πlogsi
alogcosalogcosa4、已知0b1，0a，则下列三数：xsi
ab，ycosab，zsi
ab4AxzyByzxCzxyDxyz5、在正
棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
－2
－1
－2
－1πAπ，πBπ，πC0，Dπ，π
2
xyx－y6、在平面直角坐标系中，方程1a，b是不相等的两个正数所代表的曲线是2a2bA三角形C非正方形的长方形B正方形D非正方形的菱形
二、填空题每小题9分，共54分1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为－1，1和2，2，若直线l：xmym0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是．
3xsi
x－2a0，ππ2．已知x，y∈－，，a∈R且3则cosx2y444ysi
ycosya0
．
553．已知点集Ax，yx－32y－42≤2，Bx，yx－42y－522，则点集A∩B中的整22点即横、纵坐标均为整数的点的个数为θ4．设0θπ，，则si
1cosθ的最大值是2．．
5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则si
α．6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95，每个都只能取1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2a1a3…a94a95的最小正值是．
1
1
f第二试一、本题满分25分x的二次方程x2z1xz2m0中z1，z2，m均是复数，且z1－4z21620i，设这个方程的两个根α、β，满足α－β27求m的最大值和最小值
2
二、本题满分25分将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。
三、本题满分35分如图，设三角形的外接圆O的半径为R内心为I，∠B60∠A∠C∠A的外角平分线交圆O于E．证明1IOAE；22RIOIAIC13R．
E
A
OIBC
四、本题满分35分给定平面上的点集PP1，P2，…，P1994P中任三点均不共线将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两r