1986年全国高中数学联赛
冯惠愚
1986年全国高中数学联赛试题
第一试1．选择题本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分⑴设－1a0，θarcsi
a，那么不等式si
xa的解集为A．x2
πθx2
1π－θ，
∈ZB．x2
π－θx2
1πθ，
∈ZC．x2
－1πθx2
π－θ，
∈ZD．x2
πθx2
1π－θ，
∈Z22⑵设x为复数，Mzz－1z－1，那么A．M纯虚数⑶设实数a、b、c满足
a2－bc－8a70，22bcbc－6a60．
B．M实数
C．实数M复数
D．M复数
那么，a的取值范围是A．－∞，∞B．－∞，1∪9，∞C．0，7D．1，9⑷如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为A．3B．4C．5D．6⑸平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为A．11B．12C．21D．281⑹边长为a、b、c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若4111sabc，t，abc则s与t的大小关系是A．stB．stC．stD．不确定2．填空题本题满分28分，每小题7分：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上．⑴在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．⑵已知fx1－2x，x∈0，1，那么方程1fffxx2的解的个数是
x
．41231000，那么和式fff…f的值等于421001100110011001
x
⑶设fx
；
⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程4小值的乘积等于．
5x9y4z
－682
5x9y4z
2560，那么xyz的最大值与最
1
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冯惠愚
第二试1．本题满分17分已知实数列a0，a1，a2，…，满足ai－1ai12ai，i1，2，3，…求证：对于任何自然数
，Pxa0C
1x
a1C
x1x
1a2C
x21x
2…a
1C

0
1
2


－1
1
x1xa
C
x
是一次多项式．本题应增加条件：a0≠a1
2．本题满分17分已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是ABC的三条高的充要条件是RSEFFDDE）．2式中S是三角形ABC的面积．
3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得⑴每一种颜色的点r