求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．【分析】（1）利用待定系数法即可；（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．【解答】解：（1）由已知，B点横坐标为3∵A、B在yx1上∴A（1，0），B（3，4）把A（1，0），B（3，4）代入yx2bxc得
解得
∴抛物线解析式为yx23x4（2）①过点P作PE⊥x轴于点E
∵直线yx1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒
个单位长度
∴t秒时点E坐标为（1t，0），Q点坐标为（32t，0）∴EQ43t，PEt∵∠PQE∠NQC90°
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f∠PQE∠EPQ90°∴∠EPQ∠NQC∴△PQE∽△QNC∴∴矩形PQNM的面积SPQNQ2PQ2∵PQ2PE2EQ2∴S2（当t时，）220t236t18
S最小20×（）236×18②由①点C坐标为（32t，0）P（1t，t）∴△PQE∽△QNC，可得NC2QO86t∴N点坐标为（3，86t）由矩形对角线互相平分∴点M坐标为（3t1，85t）当M在抛物线上时85t（3t1）23（3t1）4解得t当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t2当N在抛物线上时，86t4∴t综上所述当t、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，解答时应注意数形结合和分类讨论的数学思想．
3．（2018曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A，经过点A的抛物线yax23xc的对称轴是x．
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f（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF3PE．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x列出关于a、c的方程组求解即可；（2）设P（3a，a），则PC3a，PBa，然后再证明∠FPC∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据r