一个平行于平面BEC的另一个平面上，故取AB中点N，连接MN，DN，证明平面MND∥平面BEC即可。例4（2012年福建省理13分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．（I）求证：B1E⊥AD1；（II）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（III）若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．
f→→→【答案】解：（I）如图，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。a设AB＝a，则A000，D010，D1011，E2，1，0，B1a01。a→→→∴AD1＝011，B1E＝－2，1，－1，AB1＝a01，a→AE＝2，1，0。a→→∵AD1B1E＝－×0＋1×1＋－1×1＝0，∴B1E⊥AD1。2→（II）假设在棱AA1上存在一点P00，z0，使得DP∥平面B1AE，此时DP＝0，－1，z0。又设平面B1AE的法向量
＝x，y，z．ax＋z＝0，→→∵
⊥平面B1AE，∴
⊥AB1，
⊥AE，得ax2＋y＝0a取x＝1，得平面B1AE的一个法向量
＝1，－2，－a。a1→要使DP∥平面B1AE，只要
⊥DP，即－az0＝0，解得z0＝。221又DP平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝。2（III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D。∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C。又由（I）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1。→→∴AD1是平面A1B1E的一个法向量，此时AD1＝011。→
AD1→设AD1与
所成的角为θ，则cosθ＝＝→
AD1
faa2。a2221a4
∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，
∴cosθ＝cos30°，即
3a2215a4
2
＝
3，解得a＝2，即AB的长为2。2
【考点】用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定。→→→【解析】（Ⅰ）由题意及所给的图形，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，→→z轴的正方向建立空间直角坐标系。设AB＝a，给出图形中各点的坐标，可求出向量AD1和B1E的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直。（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P00，z0，使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出z0的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的z0的值，说明不存在这样的点P满足题意。（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长。
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