证明含“l
x”的不等式的一个小技巧分离出“l
x”
题12010年高考全国卷I理科第202题已知函数fxx1l
xx1，证明：
x1fx0
证法1可得fx
1x1l
x0fx2xx
进而可得fxmi
f110，所以fx是增函数当0x1时，得fxf10，所以x1fx0；当x1时，得fxf10，所以x1fx0总之，欲证结论成立证法
gx
2
得
x1fxx1l
xx1
，设
gxl
x
x1x1
，得
x210x0，所以gx是增函数xx12
当0x1时，得gxg10fx0，所以x1fx0；当x1时，得
gxg10fx0，所以x1fx0
总之，欲证结论成立注本题是涉及“一个多项式”与“l
x”的积的函数对于这类函数，一般来说，每求一次导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数须化成不含“l
x”的式子在证法1中涉及“x1l
x”，所以须两次求导，才能化成不含“l
x”的式子；在证法2中涉及“1l
x”，所以只须一次求导，即可化成不含“l
x”的式子显然证法2要简捷些，所以我们在解决这类问题时，要尽可能把“al
xa是非零常数”分离出来题22011年高考全国新课标卷文科第212题已知x0且x1，求证
l
x1l
xx1xx1
证明即证
112l
xx0x0且x1x1x
2
设fx2l
x
1x1xx0且x1，得fx0x0且x1，得fx在xx
112l
xx0；当x1时，得x21x
2
011上均是减函数当0x1时，得fxf10，所以
fxf10，所以
112l
xx0x1x
2
总之，欲证结论成立注本题若是用分析法先去分母，则须多次求导在解答后面的四道例题时也是这样的
f题3
l
x2013年高考北京卷理科第18题设L为曲线C：y＝在点1，0处的切线．x
1求L的方程；2证明：除切点1，0之外，曲线C在直线L的下方．解1过程略L的方程为y＝x－12即证时取等号设gxx2xl
x，可得gx
l
xx1当且仅当x1时取等号，也即证x2xl
x0当且仅当x1x
2x1x1x0x
进而可得gxmi
g10，所以欲r