e2t21
f11、将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题
1x2x7txetx17x12
解：1）令x1＝xx2x‘得
x2

x1x
xx27tx12x2
et
即
x1

x
2


07t
12

x1x2


0et

又x1＝x17x21x‘12
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：
x‘
＝
0－7
1－2
x＋e0t

其中
x＝
x1

x2


x1＝
72
2
x4xetx01x02x02x00
解：令x1＝xx2＝xx3＝xx4＝x则得：

x1xx2x2xx3x3xx4
x4xtetx1tet
且x10x01x2x01x30x02
x40x00
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：
f01000
x

0
0
1
0x＋
0

00010
－1000
te
t

1
x1
x0－1
其中
x

x2

2

0


x3x4

12、考虑方程组
X


AX

f
t
，其中
A

2

0
12


X


x1x2


f
t

si
tcost
1）验证
e2t

t


0
te2te2t

是
X


2

0
1
2

X
的基解矩阵
2）试求XAXft的满足初始条件

0

11
的解
t
121
1
设A1
2
10
11
，求解方程组
dXdt

AX
满足初始条件0

00
的解
t。
证明：1首先验证它是基解矩阵
以1t表示t的第一列
1
t


e2t0

则
1
t



2e2t0



20
12
e2t0



20
12
1
t


故1t是方程的解
如果以2t表示t的第二列

2
t


te2te2t


我们有

2

t



e
2t
2te2e2t
2t



20
12
te2te2t



20
12

2
t


f故2t也是方程的解，从而t是方程的解矩阵
dette2tte2te4t0
又
0e2t

故t是xAx的基解矩阵；
0
2由常数变易公式可知，方程满足初始条件

11
的解
tt10tt1fsds
0


1t


e2t0
而
te2te2te4t



10
t1
e
2t


t



1
tee2t
2t



e2t0
te2t
e2t

t0

e
2
0
s
se2se2s

si
scoss
ds


125
15t27e3e2t5
2t
25
1cost25
cost1si
5
125t
si

t

fr