1的解的存在区间。
dx
解：此时区域D是整个平面方程右端函数满足延展定理的条件
容易算出，方程的通解是：y1Cx
故通过11的积分曲线为：y1，它向左可无限延展，而当x2时，
2x
y→∞所以，其存在区间为∞2。
7、考虑方程
dydx

y2

a2
f
x
y
假设
f
x
y
及
f
y

x
y
在
xOy
平面上连
f续，试证明：对于任意x0及y0a，方程满足yx0y0的解都在上存在。
证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个xOy平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件易于看到，ya为方程在∞∞上的解由延展定理可知足yx0y0，x0任意，y0a的解yyx上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，yyx又不能穿过直线ya，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在∞∞上存在。
8、设yx21
（1）验证函数
y

x412

x22

C1x

C2
是方程的通解；
解：由yx21，易得
y

x412

x22

c1x

c2

故得以验证
（2）求满足初始条件yx01yx02的特解；解：由yx21，可得y1x3xc
3
由yx00可得c10
y

x412

x22

c2

由yx02可知c22
f所以所求特解为yx4x22
122
（3）求满足初始条件yx12yx35的特解。
解：由
y
x1
2
，
y
x3
5代入
y

x412

x22

c1x

c2

解得c1

13
，c2

74

故所求特解为：yx4x21x7
12234
9、求方程
d2dt
x
2

4
x

t
si

2t
的通解，已知它的对应齐线性方程有基本解
组cos2tsi
2t。
d2x
解：齐次方程为dt2
4x0的解为
xC1cos2tC2si
2t令（）的特解为xte2ta1tb1cos2ta2tb2si
2t代入（）比较系数求出a1，b1，a2，b2即可错误未定义书签。10、求解下列微分方程1d2y3dy2y0
dx2dx
解：这里特征根方程为：2320，有两个特征根1221，因此它的通解为：yc1e2tc2et
f2
d2ydx2

y

4
si

x
解：这里特征根方程为：210，它的特征根为12i，因
此它对应的齐次方程的通解为：
y0c1eix考虑ww4eix，它的一个特解为：
wp

4xeixPi

2xsi

x2ixcos
x
取它的虚部作为原方程的一个特解，则
yp2xcosx根据解的结构基本定理，原方程的通解为：
yy0ypc1eit2xcosx
3
d2xdt2

6
dxdt

5x

e2t
解：这里特征根方程为：2650，有两个特征根
1521，因此它对应的齐次方程的通解为：y0c1etc2e5t考虑原方程x6x5xe2t，它的一个特解为：
wp

e2tP2

e2t21

根据解的结构基本定理，原方程的通解为：
yy0ypc1etc2e5tr