福建师范大学网络学院《常微分方程》期末考试
姓名：申琪
1、给定一阶微分方程dy2x：
dx
（1）求出它的通解；
解：由原式变形得：

dy2xdx
两边同时积分得
yx2C（2）求通过点（2，3）的特解；
解：将点（23）代入题（1）所求的得通解可得：
C1
即通过点（23）的特解为：
yx21
（3）求出与直线y2x3相切的解；解：依题意联立方程组：
yx2Cy2x3
故有：x22x3C0。由相切的条件可知：0，即2243C0解得C4故yx24为所求。
f（4）
求出满足条件
3
0
ydx

3
的解。
解：将
y

x2

C
代入

3dy0

3
，可得
C2
故yx22为所求。
2、求下列方程的解。
１）dy3xy
dx
解：dy3xy，3ydy3xdx，
dx
同时积分得，3y3xC，
2）dy2x3y3
dx3x3y1
解：依题意联立方程组：
2x3y303x3y10
解得：x2，y7。则令Xx2，Yy7。
3
3
故原式可变成：dY2x3y
dX3x3y
令uY，则dyXduudx，即有
X
2
33u6u3u2
du

dxx

两边同时积分，可得
26u

3u
2


12

C

X


fy7
将u3，Xx2代入上式可得：
x2
2

6y14x2
y72

3
x

322
1
2


C

x2


即上式为所求。
3、求解下列方程1dy2xy4x
dx解：由原式变形得：
dy2xdx
2y
两边同时积分得：l
2y1x2C即上式为原方程的解。
2xdyyexdx
解：先求其对应的齐次方程的通解：xdyy0
dx
进一步变形得：1dydx
y
两边同时积分得：ycex利用常数变异法，令ycxex是原方程的通解。
f有
x

d
cxexdx


y


ex

整理得：
dcx1dx
x
两边同时积分得
cxl
xc
故原方程的通解为：
yl
xcex
3dyyxy5dx
解：令zy4，代入方程整理得
z4z4x
解得
C
1
zx
4e4x
4
即y4Cx1
4e4x
4
44x2y2dx2x3y1dy0
解：由原式化简整理得：
4

y
32
dx3

x3dy
32


2

y
12
dy

0
3
两边同时积分得：
4
3
x3y2

1
4y2

C

0
3
4、叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理。
一阶微分方程
（1）
f其中
是在矩形域
上的连续函数。
定义1如果存在常数，使得不等式
函数
对于所有称为在上关于满足Lipschitz条件。
都成立，则
定理1如果
在上连续且关于满足Lipschitz条件，则
方程1存在唯一的解
，定义于区间
上，连续且满足
初始条件
，这里
，
。
5、求方程dyxy2通过点10的第二次近似解。
dx
解：令0x0
则
1xy0
x0
x

y02
dx

xxdx1x2
0
2
2xy0
x
x
0

12
xdx

x
x

1x22
dx

1
x2

1
x5
0
2
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6、讨论方程dyy2通过点11的解和通过点3r